Фу́нкция Гудерма́на (гудерманиа́н, или гиперболи́ческая амплиту́даНазвание «гиперболическая амплитуда» предложено Гуэлем в 1864 году.) — функция, показывающая связь тригонометрических и гиперболических функций без привлечения комплексных чисел. Названа в честь немецкого математика Кристофа Гудермана. Обозначается или Возникает в задаче отображения плоскости на сферу в картографической проекции Меркатора.
Определение и свойства Гудерманиан определяется следующим образом:
Основные соотношения, иногда используемые как альтернативные определения:
Имеют место также следующие тождества, связывающие через гудерманиан тригонометрические и гиперболические функции:
Гудерманиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на всей числовой прямой. Его область значений лежит на отрезке . Значения являются асимптотами функции при стремлении её аргумента к
Используя определение функции Гудермана, можно расширить её область определения на комплексную плоскость. Для комплексного аргумента выполняются тождества:
а также
Связь гудерманиана и экспоненциальной функции задаётся тождествами:
Обратная функция
Обратная функция к функции Гудермана:
Она называется антигудерманианом, а также ламбертианом или функцией Ламберта (в честь Иоганна Ламберта), и обозначается также как или Её, как и функцию Гудермана, используют в теории построения картографических проекций; она позволяет перейти от географической широты точки на сфере к вертикальной координате образа точки в проекции Меркатора (см. также Интеграл от секанса). Основные тождества для функции Ламберта:
Имеют место также следующие тождества, связывающие через ламбертиан тригонометрические и гиперболические функции:
Ламбертиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на интервале . Её область значений лежит в интервале Как и функция Гудермана, она может быть обобщена для комплексного аргумента.
Функция Гудермана и функция Ламберта связаны следующим соотношением:
откуда вытекают также соотношения
Производные, ряды и интегралы Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана равны соответственно гиперболическому и тригонометрическому секансу:
Разложение в ряд:
Коэффициенты разложения гудерманиана и антигудерманиана при членах одинаковой степени совпадают по модулю, однако у членов со степенью 3, 7, 11,... коэффициенты разложения гудерманиана отрицательны, а у обратной функции — положительны.
Интеграл функции Гудермана:
где — дилогарифм.
Гудерманиан и антигудерманиан, позволяющие легко переходить от гиперболических к тригонометрическим функциям и обратно, используются для аналитического интегрирования методом тригонометрической и гиперболической подстановки.
Литература Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1963. 1100 с. Янпольский А. Р. Гиперболические функции. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1960. С. 47—50.
Ссылки
Примечания
Категория:Элементарные функции