Теорема об обратной функции — утверждение анализа о достаточных условия для существования обратной функции в окрестности точки через производные от самой функции. В базовой формулировке для вещественнозначной функции одной переменной гласит, что если она непрерывно дифференцируема с ненулевой производной в точке , то обратима в некоторой окрестности .
Из правила дифференцирования сложной функции следует, что обратная функция является непрерывно дифференцируемой и определяется как: .
В комплексном случае достаточным условием обратимости в точке является голоморфность в некоторой области и ненулевая производная в этой точке: .
Теорема обобщается на вектор-функции: если якобиан функции (или ), непрерывно дифференцируемой в точке (), отличен от нуля, то обратима в некоторой окрестности .
В бесконечномерном случае необходимо дополнительно потребовать, чтобы производные Фреше в точке имели ограниченный обратный оператор.
Вариант теоремы об обратной функции для липшицевых отображений установлен Clarke, F. H. On the inverse function theorem. Pacific J. Math. 64 (1976), no. 1, 97-102.: вместо условия на ненулевой якобиан в данной точке достаточным условием является невырожденность любой матрицы, лежащей в замыкании выпуклой оболочки матриц Якоби в некоторой окрестности точки.
Обобщение на банаховы пространства: если отображение между банаховыми пространствами непрерывно дифференцируемо в некоторой открытой окрестности и его дифференциал является ограниченный линейным изоморфизмом , то существует открытая окрестность и непрерывно дифференцируемое отображение такое, что для всех в .
Обобщение для гладких отображений между гладкими многообразиями: если — гладкое отображение между гладкими многообразиями и дифференциал в точке является линейным изоморфизмом (в частности, ), тогда существует открытая окрестность такaя, что является диффеоморфизмом.
Во всех случаях теорема даёт условие локальной обратимости — в заданной точке, при этом выполнение условий теоремы для всех точек вообще говоря не гарантирует обратимости функции на всём пространстве. В частности, предполагалось, что полиномиальная вектор-функция глобально обратима, если её якобиан — ненулевая постоянная функция (проблема якобиана), однако в 2026 году для найдены контрпримеры, притом что для утверждение верно, а для гипотеза подтверждена для многочленов не выше степени 104.
Примечания
Ссылки Зорич В. А. Математический анализ, любое издание Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981 Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965 Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975 Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 — § 33 Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972
Категория:Дифференциальное исчисление многих переменных