σ-алгебра (си́гма-а́лгебра, си́гма-а́лгебра множеств) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.
Определение Семейство подмножеств множества называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствамПрохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.: содержит множество . Если , то и его дополнение . Объединение или пересечение счётного подсемейства из принадлежит
Пояснения Из пунктов 1 и 2 определения следует, что любая σ-алгебра содержит пустое множество . Поскольку
в пункте 3 достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало . Вместо пункта 1 достаточно требовать, чтобы семейство не было пустым, так как из пункта 3 следует, что пересечение или объединение конечного числа элементов из принадлежит (обратное в общем случае неверно), откуда по пунктам 2 и 3 имеем и . Для любой системы множеств существует наименьшая сигма-алгебра , являющаяся её надмножеством. Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств ) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на , то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится. σ-алгебра, порождённая случайной величиной , определяется следующим образом: , где — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве , относительно которой случайная величина всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции её можно ввести и наделить таким образом пространство структурой измеримого пространства, так что функция будет измеримой.
Измеримое пространство
Измеримое пространство — пара , где — множество, а — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.
Примеры Борелевская сигма-алгебра Для любого множества существует тривиа́льная σ-алгебра . Для любого множества существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.
Примечания
Литература
Категория:Теория меры