Равносторо́нний многоуго́льник — многоугольник, у которого все стороны равны. Например, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны одинаковы; все равносторонние треугольники подобны и имеют 60 градусов. Равносторонний четырёхугольник — это ромб, и квадрат является частным случаем ромба.
Свойства Равносторонний многоугольник, который также и равноуголен является правильным многоугольником.
Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность (его вершины лежат на окружности) является правильным многоугольником (то есть многоугольником, одновременно и равносторонним, и равноугольным).
Описанный многоугольник (у которого существует окружность, касающаяся всех его сторон) является равносторонним в том и только в том случае, когда углы через один равны (то есть, при последовательной нумерации углов углы с номерами 1, 3, 5, … равны и углы 2, 4, … равны). Таким образом, если — нечётно, описанный многоугольник является равносторонним в том и только в том случае, когда он правильный.
Все равносторонние четырёхугольники , но существуют равносторонние пятиугольники, как и выпуклые равносторонние многоугольники с большим числом сторон.
Каждая главная диагональ шестиугольника делит его на четырёхугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике с общей стороной существуетInequalities proposed in «Crux Mathematicorum», . p.184,#286.3 главная диагональ , такая что: , и главная диагональ , такая, что: .
Существует конечная последовательность элементарных отражений, переводящих любой равносторонний многоугольник в правильный.
Теорема Вивиани Теорема Вивиани в части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до каждой из сторон обобщается для равносторонних многоугольников. Действительно, представив стороны многоугольника в виде векторов , притом выбрав направления так, чтобы конец одного вектора был началом другого, сумма этих векторов равна нулю, а следовательно: , . Без умаления общности можно считать, что все длины векторов равны 1. Повернув все векторы на 90° в одном направлении, получатся векторы , и все они будут нормалями к сторонам. Уравнение прямой, проходящей через сторону будет задаваться уравнением . Поскольку длина вектора равна единице, расстояние до прямой от любой точки плоскости будет равно (расстояние может быть отрицательным — зависит от того, в какой полуплоскости лежит точка), а сумма расстояний равна , то есть, не зависит от положения точки.
Площадь и периметр равносторонних многоугольников Если нечётно, то правильный -угольник единичного диаметра даёт максимальную возможную площадь и периметр. Правильный -угольник является единственным решением в задаче нахождения максимальной площади фигуры единичного диаметра, если нечётно, но в задаче нахождения максимального периода при нечётном решение единственно только для простых . Если чётно и , то правильный -угольник единичного диаметра не даёт ни максимальной площади, ни максимального периметра. Если имеет нечётный делитель, то любой многоугольник с максимальным периметром является равносторонним.
См. также
Примечания
Ссылки Equilateral triangle With interactive animation A Property of Equiangular Polygons: What Is It About? a discussion of Viviani’s theorem at Cut-the-knot.
Категория:Многоугольники