thumb|Vizualizare a distributivității la numere pozitive În matematică, proprietatea de distributivitate a operațiilor binare este o generalizare a distributivității din algebra elementară, care afirmă că întotdeauna
De exemplu,
Se spune că înmulțirea este distributivă față de adunare.
Această proprietate de bază a numerelor este subînțeleasă în definirea majorității structurilor algebrice care au două operații numite adunare și înmulțire, cum ar fi numerele complexe, polinoamele, matricile. Structurile algebrice cu două operații se numesc inele sau corpuri. Se întâlnește și în algebra booleană și logica matematică, unde fiecare dintre și logic (notat ) și sau logic (notat ) sunt distributive față de celălalt.
Definiție Fie o mulțime și două operații binare, ∗ și +, pe . Operația ∗:
este distributivă la stânga pe + dacă, fiind date elementele și din ,
este distributivă la dreapta pe + dacă, fiind date elementele și din , și
este distributivă pe + dacă este distributivă la stânga și la dreapta. Distributivity of Binary Operations from Mathonline
Dacă ∗ este comutativă, cele trei condiții anterioare sunt logic echivalente.
Exemple Numere reale În exemplele următoare, este ilustrată distributivitatea pe mulțimea numerelor reale În matematica elementară înmulțirea este distributivă. În algebră, numerele reale formează un corp, ceea ce asigură validitatea distributivității.
Primul exemplu În timpul socotirii „în cap” distributivitatea se aplică adesea inconștient:
Pentru a socoti de obicei se fac operațiile și și apoi se adună aceste rezultate parțiale. La fel se judecă și la socotelile „pe hârtie”.
Al doilea exemplu Fie o serie de variabile. Operațiile sunt:
Al treilea exemplu În cazul sumelor distributivitatea se aplică indiferent cărei paranteze, rezultatul este același:
Al patrulea exemplu Aici distributivitatea se aplică invers în comparație cu exemplele anterioare. Fie:
Deoarece factorul apare în toți termenii, datorită distributivității poate fi dat factor comun. Se obține:
Matrici Distributivitatea este valabilă la înmulțirea matricilor. Mai exact,
pentru orice matrici și , la fel și
pentru orice matrici și Deoarece comutativitatea nu este valabilă la înmulțirea matricilor, cele două relații sunt diferite, neechivalente.
În logica propozițională Reguli de substituție În logica propozițională standard, în demonstrațiile logice distributivitatea Elliott Mendelson (1964) Introduction to Mathematical Logic, page 21, D. Van Nostrand Company Alfred Tarski (1941) Introduction to Logic, page 52, Oxford University Press are două reguli de substituție pentru a dezvolta expresiile anumitor conectivități logice din cadrul unor formule în aplicații separate ale acelor conectivități între subformule ale formulei date. Regulile sunt:
și
unde "" (sau ≡) este un simbol cu sensul „poate fi înlocuit cu” sau „este logic echivalent cu”.
Conectivități funcționale O serie de conectivități funcționale sunt distributive, fiind considerate tautologii. Distributivitatea conjuncției pe conjuncție
Distributivitatea conjuncției pe disjuncție
Distributivitatea disjuncției pe conjuncție
Distributivitatea disjuncției pe disjuncție
Distributivitatea implicației
Distributivitatea implicației pe echivalență
Distributivitatea implicației pe conjuncție
Distributivitatea disjuncției pe echivalență
Dubla distributivitate
Distributivitate și rotunjire În aritmetica aproximativă, cum ar fi aritmetica în virgulă mobilă, distributivitatea înmulțirii (și împărțirii) asupra adunării poate eșua din cauza numărului limitat de cifre cu care se fac operațiile. Dar există și cazuri, cum ar fi identitatea care dă un rezultat greșit indiferent de numărul de cifre folosit. Metodele de rotunjire ajută în unele cazuri, la fel și creșterea numărului de cifre semnificative, dar unele erori de calcul sunt inevitabile.
Note
Legături externe
A demonstration of the Distributive Law for integer arithmetic from cut-the-knot
Categorie:Algebră elementară Categorie:Calcul propozițional