Ecuația de gradul al treilea, numită și ecuație cubică, este o ecuație algebrică de forma
unde . Ea reprezintă cazul particular al unei ecuații polinomiale de gradul al treilea și are, în cadrul numerelor complexe, exact trei rădăcini numărate.Pentru detalierea teoriei rezolvării ecuațiilor algebrice prin radicali și pentru exemple mai detaliate de rezolvare a ecuațiilor polinomiale de gradul al treilea, vezi și I. Tofan, C. Volf, Algebra. Inele, module, teorie Galois, Editura Matrix Rom, București, 2002.
În cazul coeficienților reali, rădăcinile care nu sunt reale apar în perechi conjugate complexe, astfel încât o ecuație cubică reală are fie trei rădăcini reale, fie una reală și două complexe conjugate, fie rădăcini multiple.Violeta Leoreanu-Fotea, Teorie Galois, curs universitar, Facultatea de Matematică, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași
Ecuația cubică este strâns legată de studiul polinoamelor de gradul al treilea și de teoria ecuațiilor algebrice. În algebră elementară, interesul principal este determinarea rădăcinilor, factorii polinomului asociat și natura lor reală sau complexă.Andrei Mărcuș, Polinoame și ecuații algebrice, curs universitar, Universitatea Babeș-Bolyai, Cluj-Napoca
Formă generală și forme uzuale
Forma generală a unei ecuații de gradul al treilea este , cu .
Coeficientul se numește coeficient principal, iar , și sunt coeficienții termenilor de gradul al doilea, întâi și respectiv termenul liber.Vasile Berghea, „Despre ecuația de gradul trei”, Gazeta Matematică, Seria B, nr. 12, 2016, pp. 553–556
Dacă se împarte ecuația prin , se obține forma redusă:
, unde , ,
Forma esențială pentru rezolvarea clasică prin radicali este forma canonică:
Această formă se obține prin schimbarea de variabilă , care elimină termenul de gradul al doilea.Dan Necula, Ecuația polinomială de gradul trei, material didactic universitar, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași
Relațiile lui Viète
Dacă sunt rădăcinile ecuației , atunci relațiile lui Viète sunt:
În forma monică , relațiile devin:
Aceste relații sunt utilizate la verificarea rădăcinilor unei ecuații, la factorizarea polinoamelor și la determinarea unei ecuații ale cărei rădăcini sunt cunoscute.
Reducerea la forma canonică
Pentru ecuația generală
se face substituția
În urma efectuării calculelor și a reducerii termenilor asemenea, ecuația se transformă în forma canonică , unde
și .
Reducerea ecuației la forma canonică constituie etapa esențială a metodei lui Cardano, deoarece permite aplicarea directă a formulelor de rezolvare.
Exemplu. Pentru , se împarte prin 2 și se obține:
Aici , , ,
Substituția
transformă ecuația dată într-o ecuație în formă canonică în raport cu necunoscuta . După determinarea rădăcinilor acesteia, soluțiile ecuației inițiale se obțin prin revenirea la variabila .
Discriminantul și numărul rădăcinilor
Pentru ecuația generală , discriminantul este:
În forma canonică , discriminantul se scrie
Semnul discriminantului, în cazul coeficienților reali, descrie natura rădăcinilor:
— ecuația are trei rădăcini reale distincte — ecuația are cel puțin o rădăcină multiplă; toate rădăcinile sunt reale — ecuația are o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate
Dacă , și sunt rădăcinile unui polinom cubic în formă monică, atunci discriminantul poate fi exprimat prin relația:
Pentru ecuația generală , această relație devine: .
Exemplu. Ecuația
are discriminantul nul, deoarece .
Prin urmare, ecuația are rădăcina dublă și rădăcina simplă .
Numărul soluțiilor reale și complexe
Orice ecuație de gradul al treilea are trei rădăcini complexe, considerate împreună cu ordinul lor de multiplicitate.
În cazul ecuațiilor cu coeficienți reali, rădăcinile complexe ne-reale apar în perechi de numere complexe conjugate. Prin urmare, sunt posibile următoarele situații:
Ecuația are trei rădăcini reale distincte; Ecuația are o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate; Ecuația are cel puțin o rădăcină multiplă (aici discriminantul ecuației este nul).
Natura rădăcinilor poate fi determinată cu ajutorul discriminantului. Astfel, în cazul existenței a trei rădăcini reale distincte poate fi utilizată metoda trigonometrică, iar formula lui Cardano permite determinarea rădăcinilor unei ecuații cubice aduse la forma canonică.
Formula lui Cardano
Pentru ecuația în formă canonică
se caută o soluție de forma .
Prin substituția și alegerea lui și astfel încât să fie îndeplinită condiția , se obțin relațiile: ,
Acestea stau la baza metodei lui Cardano.
Astfel, și sunt rădăcinile ecuației de gradul al doilea , de unde rezultă formula lui Cardano: Pentru prezentarea istorică a formulei lui Cardano, vezi și Adrian Stan, Matematica Liceu (sinteză), Editura Rafet, Râmnicu Sărat, 2007, pp. 108–109.
În cazul ecuației generale, rădăcinile se determină prin revenirea la variabila inițială, utilizând relația .
Formula lui Cardano permite, în principiu, determinarea tuturor rădăcinilor unei ecuații cubice.
Totuși, în cazul în care , ecuația are trei rădăcini reale distincte, iar aplicarea formulei conduce la apariția unor expresii care implică numere complexe, chiar dacă rezultatele finale sunt numere reale (acest caz este cunoscut sub denumirea de casus irreducibilis). În această situație, pentru determinarea rădăcinilor reale este adesea preferată metoda trigonometrică.
Exemplu. Să se rezolve ecuația . Aceasta se află deja în formă canonică, astfel încât
și .
Aplicând formula lui Cardano,
,
se obține
Cum , rezultă:
Prin calcul se verifică faptul că
este o rădăcină a ecuației.
Împărțind polinomul la , se obține , de unde celelalte două rădăcini sunt
Metoda trigonometrică
În cazul în care și discriminantul este pozitiv, ecuația în formă canonică , are trei rădăcini reale distincte și poate fi rezolvată prin metoda trigonometrică, utilizând substituția .
Folosing identitatea , se obține relația
Dacă se notează
atunci cele trei soluții sunt: , pentru
Exemplu. Să se rezolve ecuația
Aceasta este deja în formă canonică, astfel încât
și .
Deoarece , ecuația are trei rădăcini reale distincte și poate fi aplicată metoda trigonometrică.
Se efectuează substituția
Cum , rezultă
Înlocuind în ecuație, se obține , adică
Utilizând identitatea , se ajunge la relația
sau
Soluțiile acestei ecuații sunt:
sau , unde
Se pot alege trei valori distincte ale lui : , ,
Prin urmare, rădăcinile ecuației sunt , ,
adică, aproximativ,
, ,
Factorizarea (descompunerea)
Dacă este o rădăcină a ecuației , atunci, conform teoremei împărțirii cu rest a polinoamelor, polinomul asociat este divizibil cu . În consecință, acesta poate fi scris sub forma , unde coeficienții polinomului de gradul al doilea se determină prin împărțirea polinoamelor sau cu ajutorul schemei lui Horner.
Dacă , și sunt rădăcinile ecuației, atunci polinomul se descompune complet în factori liniari:
Factorizarea unui polinom de gradul al treilea reprezintă una dintre cele mai simple metode de determinare a rădăcinilor sale. În practică, aceasta este utilizată frecvent atunci când polinomul are rădăcini raționale.
În cazul polinoamelor cu coeficienți întregi, teorema lui Gauss permite restrângerea căutării rădăcinilor raționale la numere de forma ,
unde este un divizor al termenului liber, iar este un divizor al coeficientului principal. Identificarea unei astfel de rădăcini conduce imediat la factorizarea polinomului și la reducerea problemei la rezolvarea unei ecuații de gradul al doilea.
Exemplu. Să se rezolve ecuația
Pentru determinarea rădăcinilor se caută mai întâi o rădăcină rațională. Conform teoremei lui Gauss, candidații posibili sunt divizorii termenului liber:
Pentru se obține
Prin urmare, este rădăcină a ecuației, iar polinomul este divizibil cu .
Împărțind polinomul la , rezultă
Ecuația devine
Polinomul de gradul al doilea se factorizează astfel: , deoarece
Prin urmare,
Rezultă:
sau
sau
Astfel, soluțiile ecuației sunt
Ecuația are trei rădăcini reale distincte.
Cazuri particulare
Dacă , atunci este o rădăcină a ecuației, iar aceasta poate fi scrisă sub forma:
Rezolvarea ecuației se reduce astfel la determinarea rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: , și a rădăcinii .
Dacă , ecuația devine
În acest caz, este rădăcină dublă, iar cea de-a treia rădăcină este
Dacă ecuația este în formă canonică , și , atunci aceasta se reduce la:
Rădăcinile se determină direct din ecuațiile , și
Dacă ecuația permite rădăcini multiple, atunci discriminantul său este nul. În această situație, formulele de rezolvare se simplifică, iar rădăcinile pot fi determinate prin calcule algebrice mai simple decât în cazul general.
Exemplu. Să se rezolve ecuația
Se observă că polinomul , reprezintă dezvoltarea binomului
Prin urmare, ecuația poate fi scrisă sub forma
Rezultă că
Deoarece factorul apare de trei ori în descompunerea polinomului, rădăcina este o rădăcină triplă.
Astfel, ecuația are o singură rădăcină distinctă, , de ordinul 3.
Observații importante
În studiul ecuațiilor cubice este importantă distincția dintre forma redusă
, și forma canonică
Forma redusă se obține prin împărțirea ecuației la coeficientul principal, în timp ce forma canonică rezultă prin eliminarea termenului de gradul al doilea printr-o schimbare de variabilă.
În cazul ecuațiilor cu trei rădăcini reale distincte, aplicarea formulei lui Cardano poate conduce la apariția unor expresii intermediare care implică numere complexe, deși rădăcinile ecuației sunt reale. Acest lucru este cunoscut sub denumirea de casus irreducibilis.
Ecuațiile cubice care au rădăcini raționale pot fi adesea rezolvate prin factorizarea polinomului asociat. În asemenea situații, determinarea unei rădăcini raționale permite reducerea problemei la rezolvarea unei ecuații de gradul al doilea.
Exemplu. Să se rezolve ecuația .
Prin gruparea termenilor, se obține
Scoțând factorul comun din fiecare grup, rezultă
Se observă că expresia obținută conține factorul comun . Prin urmare,
Deoarece , rezultă
Ecuația devine
Deoarece un produs este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factorii săi este egal cu zero, rezultă că:
sau
sau
Prin urmare, soluțiile ecuației sunt:
Funcția cubică
Ecuația de gradul al treilea este asociată funcției polinomiale de gradul al treilea
Rădăcinile ecuației , care reprezintă abscisele punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axa . Proprietățile funcției cubice, inclusiv studiul variației, extremele locale și reprezentarea grafică.
Note
Referințe
Bibliografie Adrian Stan, Matematica Liceu (sinteză), Editura Rafet, Râmnicu Sărat, 2007 Violeta Leoreanu-Fotea, Teorie Galois, curs universitar, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași Violeta Leoreanu-Fotea, Fundamente de algebră, Editura MatrixRom, București, 2001 I. Tofan, C. Volf, Algebra. Inele, module, teorie Galois, Editura MatrixRom, București, 2002 G. Călugăreanu, Lecții de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București D. M. Burton, Elementary Number Theory and Algebraic Structures, McGraw-Hill I. N. Herstein, Topics in Algebra, Wiley M. Marcus, Noțiuni de algebră, Editura Științifică, București G. C. Ion, Algebră elementară, materiale universitare
Legături externe
Categorie:Polinoame Categorie:Ecuații Categorie:Ecuații algebrice Categorie:Algebră elementară Categorie:Matematică elementară Categorie:Funcții polinomiale