În analiza matematică, regula lui l'Hôpital (scrisă adesea și regula lui l'Hospital, cunoscută și ca regula lui Bernoulli) este o teoremă care permite calculul limitelor de funcții ce prezintă forme nedeterminate, prin utilizarea derivatelor. Aplicarea (eventual repetată) a regulii transformă adesea o expresie nedeterminată într-una pentru care limita poate fi calculată direct prin continuitate, prin substituție.
Regula poartă numele matematicianului francez din secolul al XVII-lea Guillaume de l'Hôpital, care a publicat-o în 1696. Cu toate acestea, rezultatul a fost descoperit de matematicianul elvețian Johann Bernoulli, care i l-a comunicat lui l'Hôpital în anul 1694.
Regula lui l'Hôpital afirmă că pentru funcțiile și , definite pe un interval deschis și derivabile pe , unde este un punct de acumulare (eventual infinit) al intervalului , dacă sau , pentru orice , și există (finită sau infinită), atunci are loc egalitatea
Derivarea numărătorului și a numitorului simplifică adesea raportul sau îl transformă într-o limită care poate fi evaluată direct folosind proprietățile de continuitate.
Istorie Guillaume de l'Hôpital (scris și l'Hospital) a publicat această regulă în cartea sa din 1696, (), primul manual de calcul diferențial.
Cu toate acestea, se consideră în general că regula a fost descoperită de matematicianul elvețian Johann Bernoulli.
Forma generală Forma generală a regulii lui l'Hôpital acoperă numeroase cazuri. Fie și : numere reale, precum și infinitul pozitiv și negativ. Fie un interval deschis care conține (pentru o limită bilaterală) sau un interval deschis cu capătul (pentru o sau o limită la infinit, dacă este infinit).
Ipoteza 1: Pe , funcțiile reale și sunt derivabile, iar .
Ipoteza 2: , unde limita poate fi finită sau infinită.
Dacă este îndeplinită una dintre condițiile:
sau
atunci:
Deși s-a folosit notația pe tot parcursul enunțului, limitele pot fi și laterale ( sau ), atunci când este un capăt finit al intervalului .
În cazul al doilea, b), ipoteza că diverge la infinit nu este necesară; este suficient ca
Ipoteza apare cel mai frecvent în literatură, însă unii autori o evită prin introducerea altor condiții care o implică. De exemplu, se poate impune ca, în definiția limitei , funcția să fie definită pe întreg intervalul . O altă abordare constă în a cere ca atât , cât și să fie derivabile pe un interval care conține .
Necesitatea condițiilor: contraexemple
Toate cele patru condiții ale regulii lui l'Hôpital sunt necesare:
Formă nedeterminată: sau ; Derivabilitatea funcțiilor: funcțiile și sunt derivabile pe un interval deschis , cu posibila excepție a punctului-limită din ; Derivata nenulă a numitorului: pentru orice din , cu ; Existența limitei raportului derivatelor: există.
Atunci când una dintre condițiile de mai sus nu este satisfăcută, regula lui l'Hôpital nu este valabilă în general, iar concluzia sa poate fi falsă în anumite cazuri.
1. Forma nu este nedeterminată Necesitatea primei condiții poate fi observată prin următorul contraexemplu, în care funcțiile sunt și , iar limita este .
Prima condiție nu este îndeplinită deoarece și . Prin urmare, forma nu este nedeterminată.
A doua și a treia condiție sunt îndeplinite de și . A patra condiție este, de asemenea, satisfăcută, deoarece:
Totuși, concluzia eșuează, deoarece:
2. Derivabilitatea funcțiilor Derivabilitatea este necesară deoarece, dacă o funcție nu este derivabilă, derivata sa nu este garantată să existe în fiecare punct din . Faptul că este un interval deschis provine din ipotezele teoremei de medie a lui Cauchy. Excepția conform căreia funcțiile pot să nu fie derivabile în este permisă deoarece regula lui l'Hôpital necesită existența derivatelor doar în apropierea lui , nu neapărat în .
De exemplu, fie:
În acest caz, nu este derivabilă în . Totuși, deoarece este derivabilă în toate punctele diferite de , limita există. Astfel, deoarece este de forma și există, regula lui l'Hôpital rămâne valabilă.
3. Derivata numitorului este zero Necesitatea condiției în vecinătatea lui poate fi ilustrată prin următorul contraexemplu datorat lui Otto Stolz.
Fie și . Atunci nu există limită pentru atunci când . Cu toate acestea,
care tinde la 0 când , deși expresia este nedefinită în infinit de multe puncte. Alte exemple de acest tip au fost găsite de .
4. Limita derivatelor nu există Cerința ca limita să existe este esențială; dacă aceasta nu există, limita inițială poate totuși exista. Într-adevăr, pe măsură ce se apropie de , funcțiile sau pot prezenta oscilații rapide de amplitudine mică, dar cu pantă mare, care nu afectează limita raportului inițial, însă împiedică convergența raportului derivatelor.
De exemplu, dacă , și , atunci:
care nu admite limită, deoarece cosinusul oscilează infinit între −1 și 1. Totuși, raportul funcțiilor inițiale admite limită:
Într-un astfel de caz, se poate concluziona doar că:
Prin urmare, dacă limita lui există, aceasta trebuie să se afle între limita inferioară și limita superioară ale lui . În exemplul de mai sus, valoarea 1 se află într-adevăr între 0 și 2.
De asemenea, prin regulii, dacă nu există, atunci nici nu există.
Exemple
În calculele următoare, fiecare aplicare a regulii lui l'Hôpital este indicată prin simbolul .
Iată un exemplu de bază care implică funcția exponențială și forma nedeterminată în punctul :
Următorul exemplu este mai elaborat și implică forma . Aplicarea regulii lui l'Hôpital o singură dată conduce în continuare la o formă nedeterminată. În acest caz, limita poate fi evaluată aplicând regula de trei ori:
Iată un exemplu care implică forma :
Se aplică în mod repetat regula lui l'Hôpital până când exponentul devine zero (dacă este întreg) sau negativ (dacă este fracționar), concluzionând astfel că limita este zero.
Următorul exemplu implică forma nedeterminată (vezi mai jos), care este rescrisă sub forma :
Iată un exemplu care implică și forma . Fie capitalul împrumutat, rata dobânzii pe perioadă și numărul de perioade. Când , suma rambursată pe perioadă este (deoarece se rambursează doar capitalul); acest rezultat este compatibil cu formula pentru rate de dobândă nenule:
Regula lui l'Hôpital poate fi utilizată și pentru a demonstra următoarea teoremă. Dacă este de două ori derivabilă într-o vecinătate a lui , iar derivata sa a doua este continuă în această vecinătate, atunci:
Uneori, regula lui l'Hôpital este aplicată într-un mod mai subtil. Să presupunem că converge atunci când și că tinde către sau . Atunci:
și, prin urmare, există și . (Acest rezultat rămâne valabil și fără ipoteza suplimentară că tinde către sau , însă justificarea este atunci incompletă.)
Complicații Uneori, regula lui l'Hôpital nu conduce la o limită evidentă într-un număr finit de pași, decât dacă se aplică anumite simplificări intermediare. Exemplele următoare ilustrează astfel de situații:
Două aplicări succesive pot duce la revenirea la expresia inițială care trebuia evaluată:
Această situație poate fi tratată prin substituția și observarea faptului că tinde către infinit atunci când tinde către infinit; cu această substituție, problema poate fi rezolvată printr-o singură aplicare a regulii:
Alternativ, numărătorul și numitorul pot fi ambele înmulțite cu , caz în care regula lui l'Hôpital poate fi aplicată imediat cu succes:
Un număr arbitrar de aplicări poate să nu conducă niciodată la un rezultat, chiar și fără a repeta expresia:
Și această situație poate fi rezolvată printr-o transformare de variabilă, de data aceasta :
Din nou, o abordare alternativă constă în înmulțirea numărătorului și numitorului cu înainte de aplicarea regulii lui l'Hôpital:
O eroare logică frecventă este utilizarea regulii lui l'Hôpital pentru a demonstra valoarea unei derivate prin calcularea limitei unui raport incremental. Deoarece aplicarea regulii lui l'Hôpital presupune cunoașterea derivatelor relevante, acest procedeu constituie un caz de sau de petitio principii, întrucât se presupune adevărat exact ceea ce trebuie demonstrat.
De exemplu, să considerăm demonstrarea formulei derivatei pentru puterile lui :
Aplicarea regulii lui l'Hôpital și calcularea derivatelor în raport cu conduce, într-adevăr, la , însă acest calcul necesită utilizarea exact a formulei care se dorește a fi demonstrată.
În mod similar, pentru a demonstra că , aplicarea regulii lui l'Hôpital ar necesita cunoașterea derivatei lui în punctul , ceea ce presupune calcularea limitei încă de la început; o demonstrație validă necesită o metodă diferită, precum teorema cleștelui.
Alte forme nedeterminate Alte forme nedeterminate, precum , , , și , pot fi uneori evaluate folosind regula lui l'Hôpital. Ca și înainte, vom indica aplicările regulii lui l'Hôpital prin simbolul .
De exemplu, pentru a evalua o limită care implică forma nedeterminată , diferența a două funcții poate fi transformată într-un raport:
Regula lui l'Hôpital poate fi utilizată și pentru forme nedeterminate care implică exponenți, folosind logaritmi pentru a „coborî exponentul”. Următorul exemplu implică forma nedeterminată :
Este permis să mutăm limita în interiorul funcției exponențiale, deoarece aceasta este o funcție continuă. În acest fel, exponentul a fost „coborât”. Limita este de forma nedeterminată , tratată anterior; folosind regula lui l'Hôpital se obține:
Prin urmare,
Tabelul următor prezintă cele mai frecvente forme nedeterminate și transformările care se aplică înainte de utilizarea regulii lui l'Hôpital:
Forma nedeterminată cu și Condiții Transformare la forma
Teorema Stolz–Cesàro Teorema Stolz–Cesàro este un rezultat similar care privește limitele șirurilor, însă utilizează operatori de diferență finiți, în locul derivatelor.
Interpretare geometrică: curbă parametrică și vector viteză Considerăm curba parametrică din planul , ale cărei coordonate sunt date de funcțiile continue și , adică locul geometric al punctelor , și presupunem că . Panta tangentei la curbă în punctul este limita raportului când . Tangenta la curbă în punctul este dată de vectorul viteză , având panta . Regula lui l’Hôpital afirmă atunci că panta curbei în origine () este limita pantelor tangentei în puncte care se apropie de origine, cu condiția ca aceasta să fie definită.
Demonstrația regulii lui l’Hôpital
Caz particular Demonstrația regulii lui l’Hôpital este simplă în cazul în care funcțiile și sunt derivabile continuu în punctul și se obține o limită finită după prima derivare. Acesta este doar un caz particular al regulii lui l’Hôpital, deoarece se aplică doar funcțiilor care satisfac condiții mai restrictive decât cele cerute de forma generală. Totuși, multe funcții uzuale au derivate continue (de exemplu polinoamele, funcțiile sinus și cosinus, funcțiile exponențiale), astfel încât acest caz acoperă majoritatea aplicațiilor.
Presupunem că și sunt derivabile continuu într-un număr real , că și că . Atunci
Aceasta rezultă din definiția derivatei prin raport de diferență. Ultima egalitate urmează din continuitatea derivatelor în . Limita din concluzie nu este nedeterminată deoarece .
Demonstrația unei forme mai generale a regulii lui l’Hôpital este prezentată mai jos.
Demonstrația generală Următoarea demonstrație se datorează lui , unde este oferită o demonstrație unificată pentru formele nedeterminate și . Taylor notează că alte demonstrații pot fi găsite în și .
Fie și funcții care satisfac ipotezele din secțiunea . Fie intervalul deschis din ipoteză, având capătul . Deoarece pe acest interval și este continuă, intervalul poate fi ales suficient de mic astfel încât să nu se anuleze pe .
Pentru fiecare din interval, definim și , unde variază între și . (Simbolurile inf și sup reprezintă și .)
Din derivabilitatea funcțiilor și pe , teorema de medie a lui Cauchy garantează că pentru orice două puncte distincte și din există un între ele astfel încât . Prin urmare, .