miniaturadaimagem|Exemplo de um monomorfismo Um monomorfismo (ou mono), no contexto de teoria das categorias, é uma generalização do conceito de função injetiva. Uma seta numa categoria é um monomorfismo se e somente se implica sempre que são setas e é objeto de . Ou seja, uma seta é mono se ela pode ser cancelada à esquerda de uma composição.
A noção dual a monomorfismo é epimorfismo.
Exemplos Na categoria dos conjuntos, dos espaços topológicos (e funções contínuas), dos grupos (e homomorfismos de grupos), monomorfismos são exatamente os mapeamentos injetivos. Na categoria de grupos abelianos divisíveis (isto é, um grupo abeliano satisfazendo para cada inteiro positivo), a projeção é um monomorfismo que não é injetivo.
Seção Se para algumas setas e , é chamada inversa à direita ou seção e é chamada inversa à esquerda ou retração. Toda seção é monomorfismo e toda retração é epimorfismo.
Eis alguns exemplos: Na categoria dos conjuntos, se , uma função é uma seção precisamente quando é injetiva. Na categoria dos módulos sobre um anel , um homomorfismo é uma seção precisamente quando há sequência exataque cinde, isto é, quando há diagrama comutativono qual a setas verticais são isomorfismos, e as duas setas na linha de baixo são definidas por e . (O módulo "cinde-se" em e o conúcleo de .) Por isso, seções são também chamadas de monomorfismos que cindem.
Subobjetos
Dados monomorfismos de mesmo contradomínio, escreve-se quando para alguma ; escreve-se quando e . Então, é relação de equivalência no conjunto dos monomorfismos de contradomínio , e cada classe de equivalência associada é chamada um subobjeto de .
Na categoria dos conjuntos e na dos grupos, por exemplo, subobojetos correspondem biunivocamente a subconjuntos e subgrupos, respectivamente.
Dada uma família de subobjetos de (aqui, usa-se a mesma notação para um subobjeto e um monomorfismo representante), o ínfimo de (se existe) é exatamente o produto fibrado (ou pullback) dos .
Bibliografia
ASPERTI, Longo. Categories, Types, and Structures. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London. BARR, Michael; WELLS, Charles. Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990. MAC LANE, Saunders. Categories for the Working Mathematician. 2 ed. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8.
Ver também Matemática Ciência da computação
Ligações externas Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
Categoria:Teoria das categorias