Teorema da representação de Riesz

Em matemática, existem diversos teoremas que recebem o nome de teorema da representação de Riesz.

O mais conhecido destes teoremas é o Teorema de Riesz–Fréchet que se refere à representação de funcionais lineares contínuos em espaços de Hilbert.

Teorema da representação de Riesz–Fréchet Seja um espaço de Hilbert, munido de produto interno, e um funcional linear contínuo. Então existe um único tal que:

E além disso:

Portanto o teorema estabelece uma identificação entre um espaço de Hilbert e seu espaço dual.

Motivação Se é um espaço de Hilbert munido de produto interno e então existe o funcional:

Note que:

Esse funcional é linear pois o produto interno mantêm linearidade. Contínuo pois: fixando se então:. pois .

Ou seja, e .

Seria interessante que todos os funcionais lineares contínuos fossem da forma descrita acima para algum .

Demonstração Se é um funcional tal que sempre, então basta tomar que então .

Se não é identicamente nulo, então o núcleo de que é o conjunto é um subespaço próprio e fechado de .

Portanto . Seja tal que .

Vamos provar que satisfaz a condição do teorema.

Dado note que como podemos decompor como soma direta de com então onde: e .

Logo :

Como e então:

Como então temos que:

Consequências

Todo espaço de Hilbert é isomorfo ao seu dual. O dual de um espaço de Hilbert também é de Hilbert

Bibliografia

Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino e Eduardo Teixeira (2011), Fundamentos de Análise Funcional

Riesz Categoria:Análise funcional