Na Teoria dos números, o Teorema Chinês do Resto define que um sistema de congruências lineares, de módulos coprimos entre si, admite uma solução simultânea referente ao produto dos módulos calculados no sistema.
O teorema é atribuído primeiramente ao matemático chinês Sun Tzu Suan Ching, tendo uma de suas primeiras aparições no “Manual de aritmética do mestre Sun”, um livro chinês que data de 287 d.C. a 473 d.C. Ele foi desenvolvido simultaneamente por gregos e chineses com o intuito de resolver alguns problemas relativos à astronomia.
Enunciado Se é um inteiro positivo e (números primos entre si) então o sistema de congruências lineares:
Tem uma única solução: onde
O valor de pode ser encontrado utilizando-se o Teorema do Resto Chinês:
Onde é o produto de todos os com exceção de . Exemplo: e .
Adicionalmente, é o número que torna .
Demonstração De fato, ao dividirmos por o resto da divisão será , uma vez que o produto é côngruo 1 módulo . Os outros termos serão côngruos a 0 módulo porque contêm o mesmo em seu .
Desta forma, a soma será: .
Exemplo
Podemos escrever a solução como:
Subsequentemente, calculamos os valores de :
Com os valores de em mão, o valor de é:
Finalmente:
Ligações externas
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