Na matemática, o plano projetivo real, denotado por ou , é um espaço projetivo bidimensional, semelhante ao plano familiar, o plano euclidiano, em muitos aspectos, mas sem os conceitos de distância, círculos, medida de ângulo ou paralelismo. Ele é o cenário para a geometria projetiva plana, na qual as relações entre os objetos não são consideradas mutáveis sob transformações projetivas. O nome projetivo vem do desenho em perspectiva: projetar uma imagem de um plano para outro conforme vista a partir de um ponto fora de ambos os planos, por exemplo, ao fotografar uma pintura plana de um ângulo oblíquo, é uma transformação projetiva.
Os objetos fundamentais no plano projetivo são os pontos e as retas e, assim como na geometria euclidiana, cada par de pontos determina uma reta única passando por ambos, mas, diferentemente do caso euclidiano, na geometria projetiva cada par de retas também determina um ponto único na sua interseção (na geometria euclidiana, retas paralelas nunca se interceptam). Em contextos onde não há ambiguidade, ele é chamado simplesmente de plano projetivo; o qualificador "real" é adicionado para distingui-lo de outros planos projetivos, como o plano projetivo complexo e os planos projetivos finitos.
Um modelo comum do plano projetivo real é o espaço de retas no espaço euclidiano tridimensional que passam por um ponto de origem específico; neste modelo, as retas que passam pela origem são consideradas os "pontos" do plano projetivo, e os planos que passam pela origem são considerados as "retas" no plano projetivo. Esses pontos e retas projetivos podem ser visualizados em duas dimensões interceptando-os com qualquer plano arbitrário que não passe pela origem; então, o plano paralelo que passa pela origem (uma "reta" projetiva) é chamado de reta no infinito. (Veja abaixo.)
150pxO polígono fundamental do plano projetivo – A é identificado com A e B é identificado com B, cada um com uma torção132px|center A faixa de Möbius – por causa da torção entre os lados vermelhos A identificados do quadrado, a linha pontilhada é uma aresta única
Na topologia, o nome plano projetivo real é aplicado a qualquer superfície que seja topologicamente equivalente ao plano projetivo real. Topologicamente, o plano projetivo real é compacto e não orientável (unilateral). Ele não pode ser mergulhado no espaço euclidiano tridimensional sem interceptar a si mesmo. Possui característica de Euler 1, logo um demigênero (gênero não orientável, gênero de Euler) de 1.
O plano projetivo real topológico pode ser construído pegando a (única) aresta de uma faixa de Möbius e colando-a a si mesma na direção correta, ou colando a aresta a um disco. Alternativamente, o plano projetivo real pode ser construído identificando cada par de lados opostos do quadrado, mas em direções opostas, como mostrado no diagrama. (Realizar qualquer uma dessas operações no espaço tridimensional faz com que a superfície intercepte a si mesma.)
Exemplos A geometria projetiva não está necessariamente preocupada com a curvatura e o plano projetivo real pode ser torcido e colocado no plano euclidiano ou no espaço 3D de muitas maneiras diferentes. Alguns dos exemplos mais importantes são descritos abaixo.
O plano projetivo não pode ser mergulhado (isto é, sem interseção) no espaço euclidiano tridimensional. A prova de que o plano projetivo não mergulha no espaço euclidiano tridimensional é a seguinte: Supondo que ele mergulhe, ele limitaria uma região compacta no espaço euclidiano tridimensional pelo teorema da curva de Jordan generalizado. O campo de vetores normais unitários apontando para fora daria então uma orientação à variedade de contorno, mas a variedade de contorno seria o plano projetivo, que não é orientável. Isso é uma contradição, e, portanto, nossa suposição de que ele mergulha deve ser falsa.
A esfera projetiva Considere uma esfera, e que os círculos máximos da esfera sejam as "retas", e que os pares de pontos antípodas sejam os "pontos". É fácil verificar que esse sistema obedece aos axiomas exigidos de um plano projetivo: qualquer par de círculos máximos distintos se encontra em um par de pontos antípodas; e quaisquer dois pares distintos de pontos antípodas encontram-se num único círculo máximo.
Se identificarmos cada ponto na esfera com o seu ponto antípoda, obteremos uma representação do plano projetivo real na qual os "pontos" do plano projetivo são realmente pontos. Isso significa que o plano projetivo é o espaço quociente da esfera obtido dividindo a esfera em classes de equivalência sob a relação de equivalência ~, onde se ou . Este espaço quociente da esfera é homeomorfo à coleção de todas as retas que passam pela origem em R3.
O mapa quociente da esfera sobre o plano projetivo real é, de fato, um mapa de recobrimento de duas folhas (isto é, dois para um). Daí segue que o grupo fundamental do plano projetivo real é o grupo cíclico de ordem 2; ou seja, inteiros módulo 2. Pode-se tomar o laço AB da figura acima para ser o gerador.
Hemisfério projetivo thumb|Um hemisfério pode representar um plano projetivo real juntando os pontos opostos no equador Como a esfera cobre o plano projetivo real duas vezes, o plano pode ser representado como um hemisfério fechado em torno de cuja borda os pontos opostos são identificados.
Superfície de Boy – uma imersão O plano projetivo pode ser imerso (vizinhanças locais do espaço de origem não possuem autointerseções) no espaço 3D. A superfície de Boy é um exemplo de imersão.
Exemplos poliédricos devem ter pelo menos nove faces.
Superfície romana thumb|Uma animação da superfície romana A superfície romana de Steiner é um mapa mais degenerado do plano projetivo no espaço 3D, contendo um cross-cap (tampa cruzada).
thumb|O tetra-hemi-hexaedro é uma representação poliédrica do plano projetivo real. Uma representação poliédrica é o tetra-hemi-hexaedro, que tem a mesma forma geral da superfície romana de Steiner, mostrada aqui.
Hemipoliedros Olhando na direção oposta, certos polítopos regulares abstratos – hemicubo, hemidodecaedro e hemi-icosaedro – podem ser construídos como figuras regulares no plano projetivo; veja também poliedros projetivos.
Projeções planas Várias projeções ou mapeamentos planos (focais) do plano projetivo foram descritos. Em 1874, Klein descreveu o mapeamento:
A projeção central do hemisfério projetivo sobre um plano produz o plano projetivo infinito usual, descrito abaixo.
Disco com cross-cap Uma superfície fechada é obtida pela colagem de um disco a um cross-cap. Esta superfície pode ser representada parametricamente pelas seguintes equações:
onde tanto u quanto v variam de 0 a 2π.
Estas equações são semelhantes às de um toro. A Figura 1 mostra um disco fechado com cross-cap.
500px Figura 1. Duas vistas de um disco com cross-cap.
Um disco com cross-cap possui um plano de simetria que passa por seu segmento de reta de pontos duplos. Na Figura 1, o disco com cross-cap é visto de cima do seu plano de simetria z = 0, mas a sua aparência seria a mesma se fosse visto de baixo.
Um disco com cross-cap pode ser fatiado ao longo de seu plano de simetria, garantindo-se que nenhum corte seja feito ao longo de seus pontos duplos. O resultado é mostrado na Figura 2.
500px Figura 2. Duas vistas de um disco com cross-cap que foi fatiado e aberto.
Feita esta exceção, ver-se-á que o disco com cross-cap fatiado é homeomorfo a um disco com autointerseção, como mostrado na Figura 3.
500px Figura 3. Duas vistas alternativas de um disco com autointerseção.
O disco com autointerseção é homeomorfo a um disco comum. As equações paramétricas do disco com autointerseção são:
onde u varia de 0 a 2π e v varia de 0 a 1.
Projetando o disco com autointerseção no plano de simetria (z = 0 na parametrização dada anteriormente), que passa apenas pelos pontos duplos, o resultado é um disco comum que se repete (dobra-se sobre si mesmo).
O plano z = 0 corta o disco com autointerseção num par de discos que são reflexões espelhadas um do outro. Os discos têm centros na origem.
Agora considere as bordas dos discos (com v = 1). Os pontos na borda do disco com autointerseção vêm em pares que são reflexões um do outro em relação ao plano z = 0.
Um disco com cross-cap é formado identificando estes pares de pontos, tornando-os equivalentes uns aos outros. Isto significa que um ponto com parâmetros (u, 1) e coordenadas é identificado com o ponto (u + π, 1) cujas coordenadas são . Mas isso significa que pares de pontos opostos na borda do disco comum (equivalente) são identificados uns com os outros; é assim que um plano projetivo real é formado a partir de um disco. Portanto, a superfície mostrada na Figura 1 (cross-cap com disco) é topologicamente equivalente ao plano projetivo real RP2.
Coordenadas homogêneas
Os pontos no plano podem ser representados por coordenadas homogêneas. Um ponto tem coordenadas homogêneas [x : y : z], onde as coordenadas [x : y : z] e [tx : ty : tz] são consideradas como representando o mesmo ponto, para todos os valores não nulos de t. Os pontos com coordenadas [x : y : 1] formam o plano real usual, chamado de parte finita do plano projetivo, e os pontos com coordenadas [x : y : 0], chamados de pontos no infinito ou pontos ideais, constituem uma reta chamada de reta no infinito. (As coordenadas homogêneas [0 : 0 : 0] não representam nenhum ponto.)
As retas no plano também podem ser representadas por coordenadas homogêneas. Uma reta projetiva correspondente ao plano em R3 tem as coordenadas homogêneas (a : b : c). Desta forma, essas coordenadas têm a relação de equivalência (a : b : c) = (da : db : dc) para todos os valores não nulos de d. Por consequência, uma equação diferente da mesma reta dax + dby + dcz = 0 dá as mesmas coordenadas homogêneas. Um ponto [x : y : z] encontra-se numa reta (a : b : c) se ax + by + cz = 0. Portanto, as retas com coordenadas (a : b : c), onde a e b não são ambos 0, correspondem às retas no plano real usual, porque contêm pontos que não estão no infinito. A reta com coordenadas (0 : 0 : 1) é a reta no infinito, uma vez que os únicos pontos sobre ela são aqueles com z = 0.
Pontos, retas e planos right Uma reta em P2 pode ser representada pela equação ax + by + cz = 0. Se tratarmos a, b e c como o vetor coluna ℓ e x, y e z como o vetor coluna x, a equação acima pode ser escrita em forma de matriz como: xTℓ = 0 ou ℓTx = 0.
Usando a notação vetorial, podemos em vez disso escrever x ⋅ ℓ = 0 ou ℓ ⋅ x = 0.
A equação k(xTℓ) = 0 (onde k é um escalar não nulo) descreve um plano que passa por zero em R3 e k(x) descreve uma reta, que também passa por zero. O plano e a reta são subespaços lineares no R3, que sempre passam pelo zero.
Pontos ideais right
Em P2, a equação de uma reta é e esta equação pode representar uma reta em qualquer plano paralelo ao plano x, y multiplicando-se a equação por k.
Se , temos uma coordenada homogênea normalizada. Todos os pontos que têm z = 1 criam um plano. Vamos fingir que estamos olhando para esse plano (de uma posição mais distante ao longo do eixo z e olhando de volta para a origem) e há duas retas paralelas desenhadas no plano. De onde estamos (dadas as nossas capacidades visuais), só podemos ver uma certa parte do plano, a qual representamos como a área contornada em vermelho no diagrama. Se nos afastarmos do plano ao longo do eixo z (ainda olhando para trás em direção à origem), podemos ver mais do plano. Em nosso campo de visão, os pontos originais se moveram. Podemos refletir esse movimento dividindo a coordenada homogênea por uma constante. Na imagem adjacente dividimos por 2, então o valor de z agora se torna 0,5. Se nos afastarmos o suficiente, o que estamos olhando se torna um ponto à distância. À medida que nos afastamos, vemos cada vez mais das retas paralelas. As retas vão se encontrar numa reta no infinito (uma reta que passa por zero no plano em ). As retas no plano quando são pontos ideais. O plano em é a reta no infinito.