thumb|200px|Richard Feynman i sitt kontor ved Caltech på 1970-tallet.
Feynmans veiintegral betegner en tredje formulering av moderne kvantemekanikk som på flere måter er mer generell enn bølgemekanikken til Erwin Schrödinger og matrisemekanikken til Werner Heisenberg. Den ble utviklet av Richard Feynman på begynnelsen av andre verdenskrig da han var student og var viktig for hans bidrag til utviklingen av kvanteelektrodynamikk i årene som fulgte dens avslutning.
En første konsekvens av denne nye formuleringen ble bruk av Feynman-diagram ved beregninger i kvantefeltteori. Men det var først ved etableringen av standardmodellen for elementærpartikkelfysikk på 1970-tallet at bruk av veiintegral i stor grad ble enerådende for praktiske anvendelser og teoretiske undersøkelser. En viktig grunn er at denne fremstillingen er automatisk i overensstemmelse med Einsteins relativitetsteori i motsetning til de tidligere formuleringene til Heisenberg og Schrödinger.
Denne alternative beskrivelsen er basert på den fundamentale antagelsen at et kvantemekanisk system kan bevege seg fra én tilstand a til en annen tilstand b på mange forskjellige måter som hver er like sannsynlige. Hver slik tidsutvikling eller «historie» har en sannsynlighetsamplitude K som kun avhenger av virkningen S til systemet. Denne kan beregnes fra systemets Lagrange-funksjon. Angis én spesiell historie med en indeks n, vil den da ha en amplitude
hvor ħ er den reduserte Planck-konstanten. Sannsynligheten er gitt ved dens kvadrerte absoluttverdi og er derfor den samme for alle historier. Vanligvis vil et stort antall forskjellige historier være mulig. Den resulterende amplituden for alle mulige tidsutviklinger følger i så fall fra summen av alle disse delamplitudene,
Denne formen til overgangsamplituden ligger til grunn for at Feynmans formulering ofte blir omtalt som en «sum av historier». Når den tilsvarende overgangssannsynligheten |K(b;a)|2 regnes ut, vil den gi opphav til interferens mellom de forskjellige bidragene på samme måte som når lys går gjennom to eller flere spalter.
For én partikkel som beveger seg i det tredimensjonale rommet, er dens historie gitt ved en kurve x(t ) som angir den veien partikkelen følger i sin tidsutvikling. Da disse veiene går kontinuerlig over i hverandre, må summen over alle mulige veier erstattes med et integral. Den blir dermed et veiintegral. For mer kompliserte system, kan de forskjellige historiene ikke betraktes som slike enkle veier. Likevel sies deres kvantemekaniske egenskaper å være beskrevet ved tilsvarende integral over alle tenkelige veier.
Bakgrunn
Som doktorgradstudent ved Princeton University arbeidet Feynman sammen med sin veileder John Wheeler med en teori for klassisk elektrodynamikk som ikke skulle inneholde frie, elektromagnetiske felt. Den hadde ingen anvendelig Hamilton-funksjon slik at den ikke kunne kvantiseres ved bruk av en Hamilton-operator som Schrödinger og Heisenberg hadde vist. Ved et nesten tilfeldig møte i 1941 med Herbert Jehle som hadde flyktet fra Europa, fikk Feynman vite om et tidligere arbeid av Paul Dirac hvor en kvantemekanisk overgangsamplitude kunne uttrykkes ved Lagrange-funksjonen til systemet. Etter at han hadde lest denne artikkelen, forstod han hvordan amplituden til Dirac kunne generaliseres og danne utgangspunkt for en helt ny formulering av kvantemekanikken. S.S. Schweber, Feynman’s visualization of space-time processes, Rev. Mod. Phys. 58 (2), 449-508 (1986). PDF.
Diracs amplitude
Ved bruk av vanlig kvantemekanikk hadde Dirac i 1931 studert sannsynlighetsamplituden for at en partikkel som befinner seg i et visst punkt ved tiden ta, vil bli observert i et annet punkt ved et senere tidspunkt tb. For enkelhets skyld kan man anta at den bare kan bevege seg i én dimensjon med koordinaten q. Amplituden er da
hvor er Hamilton-operatoren til partikkelen. Hvis den har masse m og beveger seg med potensiell energi V(q), er denne operatoren
der det første leddet representerer den kinetiske energien uttrykt ved impulsoperatoren
For vilkårlige tidspunkt tb > ta kan denne overgangsamplituden ikke uten videre regnes ut for et generelt potensial. Mye av grunnen for dette er at de to termene i Hamilton-operatoren ikke kommuterer med hverandre. Men når tidsforskjellen blir svært liten, kan man benytte at
når man ser bort fra ledd som er av orden ε2 eller høyere. R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, New York (1982). ISBN 0-306-40397-8. Da har man
etter å ha benyttet at Det gjenstående matriseelementet kan nå finnes ved å innsette et fullstendig sett med egentilstander for impulsoperatoren,
Selv om integrasjonen over den klassiske impulsen her involverer komplekse størrelser, kan den likevel utføres som et vanlig Gauss-integral. Resultatet kan skrives som
der
og
er Lagrange-funksjonen til partikkelen hvor dens hastighet er gitt ved den tidsderiverrte når ε går mot null. I eksponenten opptrer som er virkningen for den korte bevegelsen mellom de to nærliggende tidspunktene. Det var denne sammenhengen som Feynman ble klar over da han leste Diracs arbeid. P..A.M. Dirac, The Lagrangian in Quantum Mechanics, Phys. Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1), 64 - 72 (1932). Finnes i antologien ved J. Schwinger, Quantum Electrodynamics, Dover Publications, New York (1958).
Definisjon
Arbeidet til Dirac viste også hvordan overgangsamplituden kan beregnes når tidsforskjellen mellom de to ytterpunktene er endelig. Ved å dele den opp i N like store biter, hver med lengde ε → 0, kan man benytte det funne resultatet for hver bit. Innsettes fullstendig sett med egentilstander av posisjonsoperatoren ved hver slik mellomtid, tar denne amplituden dermed formen
hvor qN = qb. I grensen der ε → 0 og N → ∞ slik at forblir endelig, kan nå dette skrives på den kompakte formen thumb|210px|Veiintegralet som forbinder A med et senere punkt B, inneholder veier som alltid beveger seg fremover I tiden.
som er Feynmans veiintegral for overgangsamplituden. Eksponenten inneholder
når man benytter at qk = q(tk). Dette er virkningen til partikkelen langs én vei q(t) som forbinder de to ytterpunktene til bevegelsen. Utledningen gir i dette tilfellet integrasjonsmålet
i grensen der N blir veldig stor. Feynman så i integrasjonen over alle disse mellomliggende koordinatene en effektiv summasjon av alle veier som forbinder begynnelsesposisjonen qa med sluttposisjonen qb. Da sannsynlighetsamplituden for hver vei er proporsjonal med eiS/ħ, vil de alle være like sannsynlige. R.P. Feynman and A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, New York (1965).
Klassiske system er karakteriserte ved å ha virkninger S som er mye større enn Plancks konstant. Hver delamplitude som inngår i veiintegralet, vil derfor variere svært raskt sammenlignet med amplitudene for nærliggende veier. Tilsammen virker de som ved destruktiv interferrens og gir et forsvinnende bidrag til veiintegralet. Kun de veier som har omtrent samme virkning, vil bidra konstruktivt og bestemmer tidsutviklingen i den klassiske grensen . Som en direkte konsekvens av denne kvantemekaniske formuleringen finner man derfor Hamiltons virkningsprinsipp som styrer all bevegelse i klassisk mekanikk.
Ikke-relativistisk propagator
Funksjonen K(qb,tb;qa,ta) er sannsynlighetsamplituden for at en partikkel som befinner seg i punktet qa ved tiden ta , kan observeres i qb ved et senere tidspunkt tb . Dette er definisjonen av en propagator i kvantemekanikken. Mer generelt kan den benyttes til å beregne bølgefunksjonen ψ(qb,tb) for partikkelen ved et senere tidspunkt når den tidligere er gitt som ψ(qa,ta). Det følger fra den formelle sammenhengen
Dette integralet representerer den kontinuerlige summen over all veier mellom qa og qb, hver vektet med sannsynlighetsamplituden ψ(qa,ta). Det er analogt med det tilsvarende Kirchhoff-integralet som opptrer i beskrivelsen av diffraksjon basert på Huygens-Fresnels prinsipp.
For en fri partikkel er potensialet V = 0. Den tilsvarende propagatoren K0 kan da beregnes eksakt på samme måte som over et kort tidsrom ε. Av den grunn vil den være
.
I eksponenten opptrer virkningen til den klassiske bevegelsen av partikkelen. Den er karakterisert ved at hastigheten mellom de to punktene har den konstante verdien (. Propagatoren har samme form som løsningen av diffusjonsligningen med en punktformig kilde, men bevegelsen foregår her i imaginær tid.
Schrödinger-ligning
Basert på sin antagelse at overgangsamplituden kunne skrives som et veiintegral, måtte Feynman vise at den var I overensstemmelse med vanlig kvantemekanikk. I praksis betyr det å vise at bølgefunksjonen oppfyller Schrödinger-ligningen. Dette gjorde han like etter at han hadde møtt Jehle og inngikk senere i hans doktorgradsarbeid. Først etter at andre verdenskrig var slutt, ble dette publisert. R.P. Feynman, Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics, Rev. Mod. Phys. 20 (2), 367–87 (1948).
Under et kort tidsrom t → t + ε forandrer bølgefunksjonen seg fra ψ(q,t ) til
Ved å innføre den nye variable s = q' - q, forvandles dette integralet til
når man tar med kun de leddene som bidrar i grensen ε → 0. Alle integralene her kan beregnes fra det elementære Gauss-integralet. Da kombinasjonen
gir de forskjellige leddene i veiintegralet dermed resullatet
På høyre side opptrer Hamilton-operatoren Dette er Schrödinger-ligningen som beskriver den kvantemekaniske bevegelsen til partikkelen i dette tilfellet.
Greens funksjon
Fra definisjonen av propagatoren for tb = ta følger at
hvor Diracs deltafunksjon på høyre side uttrykker at partikkelen i dette tilfellet ikke kan bevege seg i det hele tatt. Propagatoren har derfor en komplisert funksjonsform når tb nærmer seg ta. Denne kan finnes ut fra kravet at bølgefunksjonen ψ(qb,tb) skal oppfylle Schrödinger-ligningen
Dette blir nå en betingelse som også propagatoren må oppfylle på formen
Den er derfor en Green-funksjon for Schrödinger-ligningen. Av den grunn kan andre fremgangsmåter benyttes til beregning av propagatoren enn direkte fra veiintegralet.
Noen eksempel
Veiintegralet til Feynman kan utledes fra vanlig kvantemekanikk, men er mer generelt da det kan benyttes i sammenhenger hvor man ikke har noen Hamilton-funksjon. Derimot kan det skjelden eksakt beregnes slik at bare approksimative eller numeriske verdier vil finnes. Mange ganger har dets største fordel vist seg å være i forbindelse med mer formelle og anskuelige betraktninger rundt kvantemekanikkens fundamentale egenskaper. R.P. Feynman, QED: The strange Theory of Light and Matter, Penguin Books, London (1985). ISBN 0-14-012505-1.
Når Lagrange-funksjonen kun inneholder kvadratiske ledd som
kan veiintegralet langt på vei utføres da det isåfall kun gir opphav til gaussiske integral. Resultatet kan skrives som
hvor funksjonen F ikke avhenger av ytterpunktene qa og qb. De inngår derimot i den klassiske virkningen
hvor den spesielle veien qcl(t ) er den klassiske bevegelsen til partikkelen. Den er en løsning av Euler-Lagrange-ligningen for den gitte Lagrange-funksjonen. Når de forskjellige koeffisientene i denne er uavhengige av tiden, vil funksjonen F bare avhenge av tidsdifferansen fordi partikkelen da beveger seg under konstante forhold.
Harmonisk oscillator
Bevegelsen til en kvantisert harmonisk oscillator er av grunnleggende betydning og kan forholdsvis enkelt utledes i vanlig kvantemekanikk. Fullt så enkelt er det ikke ved bruk av veiintegral. Oscillatoren befinner seg i potensialet som er kvadratisk i utslaget q. Den klassiske bevegelsen kan lett finnes og er gitt ved veien
som oppfyller grensebetingelsene ved tidspunktene ta og tb. Herav finnes den klassiske virkningen ved direkte integrasjon,
Prefaktoren F i propagatoren kan nå beregnes fra fluktuasjonene rundt denne løsningen og blir