I matematikk er en kompakt operator en lineær operator , der X og Y er normerte vektorrom, slik at verdimengden til L i Y er relativ kompakt (tillukningen er kompakt).

Definisjon La X og Y være normerte rom. En lineærtransformasjon er kompakt dersom for enhver begrenset følge i X, inneholder følgen i Y en konvergent delfølge.B.P. Rynne og M.A. Youngson: Real analysis, side 205.

Ekvivalent kan en kompakt operator defineres slik: Dersom T er en lineær operator, er T kompakt hvis og bare hvis for enhver begrenset delmengde , er relativt kompakt.B.P. Rynne og M.A. Youngson: Real analysis, side 208.

Egenskaper La X, Y og Y være normerte vektorrom, og og betegne mengden av henholdsvis begrensede og kompakte operatorer fra ett normert vektorrom til et annet.

Forhold til mengden av begrensede operatorer En kompakt operator er også en begrenset operator. Mengden av kompakte operatorer er derfor inneholdt i mengden av begrensede operatorer B(X, Y). Hvis , og skalarer, så er også operatoren definert ved kompakt, og hvis og og minst en av de er kompakt, er også operatoren kompakt.B.P. Rynne og M.A. Youngson: Real analysis, side 206.

Dersom X er et normert rom, Y et Banach-rom og en følge i som konvergerer til en operator er T også kompakt. Mengden av kompakte operatorer er derfor lukket i mengden av begrensede operatorer.

Endelig-dimensjonale rom Dersom T er en lineær operator endelig rang, eller dersom enten X eller Y har endelig dimensjon, er T kompakt.B.P. Rynne og M.A. Youngson: Real analysis, side 207.

Verdimengden til T er separabel Dersom T er en kompakt operator, er verdimengden (bildet) samt verdimengden til tillukningen separable.

Følger av begrensede operatorer i Banach- og Hilbert-rom Hvis X er et normert rom, Y et Banach-rom og en følge av begrensede operatorer med endelig rang, slik at konvergerer til T, er T kompakt.B.P. Rynne og M.A. Youngson: Real analysis, side 210. Hvis Y i tillegg er et Hilbert-rom er det motsatte også sant: Hvis T er kompakt, finnes det en følge av begrensede operatorer med endelig rang som konvergerer til T. Dette impliserer videre at T har samme rang som sin adjungerte, og at T er kompakt hvis og bare hvis den adjungerte T* er kompakt.B.P. Rynne og M.A. Youngson: Real analysis, side 211–212.

Referanser

Litteratur

Eksterne lenker

Kategori:Funksjonalanalyse