thumb|Moskva-papyrusen som viser et matematisk problem i egyptisk matematikk. Oldtidens egyptiske matematikk er matematikk som ble brukt og utviklet i oldtidens Egypt, fra om lag 3000 f.Kr fram til rundt 300 f.Kr. Dette omfatter perioden fra det gamle riket og fram til det ptolemeiske kongedømmet.

Egyptisk matematikk besto i hovedsak av praktisk problemløsning knyttet til dagliglivet, med tallregning og geometri. Det er omdiskutert i hvor stor grad egypterne videreutviklet matematisk kunnskap. Selv om egyptisk matematikk kan vise til enkelte resultater som kanskje ikke var kjent av babylonerne, er det en vanlig oppfatning at egyptisk matematikk ikke nådde like langt som den babylonske. Greske historikere forteller at geometrien oppsto i Egypt, antagelig fra landmåling, og grekerne fikk overført kunnskap derfra.

Historisk oversikt thumb|Narmers stridskøllehode De eldste egyptiske arkeologiske funn som viser bruk av matematikk kan dateres tilbake til minst 3000 f.Kr. I graven U-j i oldtidsbyen Abydos ble det funnet merkelapper av elfenbein, og en del av disse har inskripsjoner med nummer.Annette Imhausen, (2006): «Ancient Egyptian Mathematics: New Perspectives on Old Sources» i: The Mathematical Intelligencer, 28 (1), s. 19–27 Disse kan ha blitt benyttet som merkelapper på gravgods.

Et dekorert hode til en stridskølle fra omkring 3100 f.Kr. viser bruk av et titallssystem. Steinhodet, kalt Narmers stridskøllehode etter den egyptiske faraoen Narmer, lister opp et stort krigstrofé bestående av okser, geiter og fanger.

Fra det gamle riket (ca 2690–2180 f.Kr.) er det få spor av bruk av matematikk. En inskripsjon på en murvegg nær en mastaba i Meidum gir retningslinjer for mastabaens helning.Rossi, Corinna (2007): Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-69053-9 Sammen med inskripsjonen er en figur som indikerer bruk av det gamle lengdemålet kubit. Flere linjer er tegnet adskilt med dette lengdemålet. En kubit svarer omtrent til 52 cm.M. Clagett: Ancient Egyptian science (Vol.III) s.7

Egypterne utviklet tidlig en kalender, basert på tolv måneder med 30 dager i hver, pluss fem ekstra festdager. Bygging av pyramidene viser også at de hadde en høyt utviklet ingeniørkunst, der oppmåling var grunnleggende. Hypotesen om at omkretsen av Keopspyramiden svarer til ganger høyden kan likevel ikke være riktig, ut fra det en ellers kjenner om egyptisk matematikk og egypternes kjennskap til tallet . Forholdet i Keopspyramiden er svært nær 44/7. Dette er lik to ganger 22/7, et tall som i dag ofte brukes som tilnærming for , men som ikke var kjent i oldtidens Egypt.

Dagens kunnskap om egyptisk matematikk kommer hovedsakelig fra funn av papyrusruller. Bare et fåtall av rullene som er funnet, omhandler matematiske emner. De to viktigste kildene er Moskva-papyrusen og Rhind-papyrusen. Innholdet i alle rullene har form av eksempelsamlinger, med problemer og tilhørende løsninger. Problemene er som regel praktiske problem fra dagliglivet, knyttet for eksempel til regnskap, landmåling, ølbrygging og brødbaking. Noen oppgaver har preg av å være laget mer for sin egen del, kanskje som underholdning. De fleste problemene kan karakteriseres som aritmetikk eller «tallregning», men algebraiske og geometriske oppgaver opptrer også. Egypterne var ikke alltid nøye med å skille mellom hva som var eksakt matematikk og hva som bare var tilnærminger. Innholdet i den egyptiske matematikken ser også ut til å ha endret seg lite i løpet av den lange oldtidshistorien.C.B.Boyer: A history of mathematics s.218

En vanlig oppfatning er at egyptisk matematikk ikke nådde like langt som den babylonske, spesielt ikke innenfor algebra.A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.59ffC.B.Boyer: A history of mathematics s.40 Om de utviklet ny geometrisk kunnskap er omdiskutert. Oldtidens grekere roste imidlertid egypternes kunnskap i geometri, og både Tales fra Milet og Pytagoras skal ha lært geometri på reise til Egypt. Historikeren Herodot (484-425 f.Kr.) forteller at geometrien oppsto fra egyptisk landmåling.T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.121ff Faraoen Ramses II, som levde omkring 1250 f.Kr., skal ha fordelt land i rektangulære områder, og eierne måtte etterpå betale skatt for bruken. Oversvømmelser i Nilen kunne redusere det effektive arealet, og dette krevde ny oppmåling og ny utregning av skatten. Denne historien er gjenfortalt av flere andre greske historikere fra antikken. Aristoteles derimot hevdet at matematikken i Egypt oppsto fordi presteskapet hadde tid og overskudd. Demokrit omtaler greske geometer som «tau-strekkere», en referanse til landmåling og bruk av tau for å måle og lage rette vinkler.

Kilder

Flere inskripsjoner på vegger og i gravkammer vitner om tall brukt til telling og til måling, men disse inskripsjonene kan ikke gi detaljert kunnskap om mer avansert matematikk. Bare et lite fåtall skriftlige kilder som omhandler matematikk er bevart fra Egypt. De følgende kildene er fra mellomriket (omkring 2050-1650 f.Kr.) og fra andre mellomepoke (omkring 1650-1550 f.Kr.).

Akhmim-tavlen, En tretavle datert til rundt 2000 f.Kr. Reisner-papyrusene. Fire papyrusruller fra omkring 1900 f.Kr. Moskva-papyrusen. Fra omkring 1850 f.Kr. Den egyptiske matematiske lærrullen. Fra omkring 1700 f.Kr. Lahun-papyrusen. Fra andre halvdel av det tolvte dynasti.M. Clagett: Ancient Egyptian science (Vol.III) s.17 Berlin-papyrus 6619. Fra andre halvdel av det tolvte dynasti eller fra det trettende dynasti. Rhind-papyrusen. Fra omkring 1550 f.Kr.

Også fra det nye riket er det gjort et lite antall funn av matematiske tekster.

Tall finnes gjengitt i tre ulike typer skriftsystem, hieroglyfer, hieratisk skrift og i demotisk skrift. Hieroglyfer finnes for det meste på vegger og monumenter. Hieratisk skrift ble utviklet fra hieroglyfer, som en tilpasning til skriving på papyrus. Demotisk skrift utviklet seg rundt 800 f.Kr. fra hieratisk, ved sammentrekninger og forenklinger. De viktigste egyptiske kildene er skrevet i hieratisk skrift.

Tallsystem og talltegn

Egyptiske kilder viser i hovedsak bruk av et tallsystem basert på grunntallet 10, men historikere mener også å ha funnet spor av system basert på grunntall 5, 12, 20 og 60.F. Cajori: A history of mathematical notations Bind I, s.11-18 Både hieroglyfer og hieratisk skrift brukte egne tegn for tier-potenser opp til ti millioner: 10, 100, 1000, ...

Hieroglyfer I hieroglyfisk skrift var tallsystemet ikke et posisjonssystem, men et additivt system: Et tall ble gjengitt som summen av flere tegn. Tallene fra 1 til 9 var avbildet med et tilsvarende antall rette streker. Den følgende tabellen viser de grunnleggende hieroglyfene for tall.

+ Hieroglyfer for tallM. Clagett: Ancient Egyptian science (Vol.III) s.2 1 10 100 1000 Z1 V20\ V1 M12 D50 I8 C11 V9

Mange ulike varianter av disse tegnene forekommer. Symbolene for 1 og 10 er for eksempel også brukt med horisontal orientering. Tolking av tegnet for tallet 10 varierer.A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.62 Hundre kan muligens tolkes som en papyrusrull. Tallet tusen er representert ved en lotusblomst, og titusen er symbolisert med en bøyd finger. Tegnet for er tolket både som en slags fisk og som en fugl. Tallet for en million ble representert ved en knelende skikkelse, og dette kan framstille en forbauset person eller være et symbol for guden for uendelig, Heh. Talltegnene viser at egypterne kunne operere med svært store tall.

Hvert symbol ble gjentatt så mange ganger som nødvendig. Ved mer enn fire gjentakelser ble symbolene plassert over hverandre. Symbolet for det høyeste tallet ble vanligvis plassert lengst til venstre, men det finnes også eksempler på andre organiseringer.

C11 \ D50 D50 M12 M12 V1 V1 V1 V20 Z1

Etter 1600-2000 f.Kr. tok en også i bruk multiplikasjon til å uttrykke tall, slik at kunne skrives som symbolene for 120 plassert foran en lotusblomst, symbolet for tusen.

En stambrøk ble markert ved å sette et tegn likt en pute over tallet i nevneren:

D21:Z1*Z1*Z1

Dette «pute-tegnet» ble vanligvis brukt for bokstaven R. Egne tegn ble brukte til et fåtall spesielle brøker:

Aa16 D22 D23

Ulike deler av Horus’ øye ble brukt som tegn for brøkene , for .

Hieratisk skrift De hieratiske tegnene er en videreutvikling fra hieroglyfene, med flere symboler gjerne trukket sammen til ett. Hieratisk skrift kan variere fra skriver til skriver. Skriftretningen var fra høyre mot venstre, også for tall. De hieratiske symbolene for 1, 10 og 100 er like de tilsvarende hieroglyfene. Imidlertid er den repetitive bruken av talltegn nå erstattet av egne tegn: Isteden for å skrive syv streker for tallet 7, har dette nå fått et eget symbol. En trengte dermed færre symbol for et tall enn det en gjorde med hieroglyfer. Dette prinsippet, innført for over fire tusen år siden, innebærer et viktig utviklingssteg mot et moderne tallsystem.C.B.Boyer: A history of mathematics s.9ff

I Rhind-papyrusen er stambrøker skrevet med en prikk over nevneren, bortsett fra de spesielle brøkene med egne tegn. Addisjon blir markert med to føtter som går framover i skriftretningen, mens for subtraksjon går føttene motsatt vei.F. Cajori: A history of mathematical notations Bind I, s.229 I Moskva-papyrusen blir to føtter brukt for å symbolisere et kvadrat.

Aritmetikk

Multiplikasjon Egypterne utførte multiplikasjon på en måte som kan karakteriseres som binær aritmetikk.A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.64f Multiplikasjonen ble gjennomført med suksessive fordoblinger, avsluttet med en summasjon. Anta for eksempel at en ønsket å finne produktet 14 × 18. En starter med suksessive fordoblinger av tallet 18:

+14 × 181 18 2 36 20px|link= 4 72 20px|link=8 144 20px|link=

Kolonnen til venstre er stigende potenser av 2, mindre eller lik den første faktoren 14. For å danne faktoren 14 må en summere de tre tallene i første kolonne der radene er merket med en grønn hake. For å finne produktet 14 × 18 må en summere tallene i andre kolonne på samme måte. Dette svarer til å regne ut

Divisjon Divisjon ble utført på en tilsvarende måte som multiplikasjon, med en direkte omvending av prosessen. Anta at en skal utføre divisjonen 468 : 18.

+468 : 181 18 2 36 20px|link= 4 72 8 144 20px|link=16 288 20px|link=

Tallene i høyre kolonne er mindre eller lik dividenden 468. Ved å subtrahere fra dividenden suksessivt tall i fra den høyre kolonnen, og merke de tallene en bruker med en grønn hake, finner en

I dette enkle eksempelet går divisjonen opp, men egypterne kunne også bruke en tabell der venstre kolonne inneholdt stambrøker. På den måten kunne en finne en løsning for en vilkårlige divisjon. Prosessen ble imidlertid avbrutt dersom svaret viste seg å inneholde for mange stambrøker, og løsningen var da bare tilnærmet rett.

Problem 65 i Rhind-papyrusen går ut på å dele 100 brød mellom ti mann.A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.74ff Tre personer skal imidlertid bli gitt dobbel rasjon. Papyrusen gir en eksakt løsning på problemet:

Brøkregning

Brøkregning i Egypt var begrenset til bruk av stambrøker samt den spesielle brøken 2/3. En generell brøk ble skrevet som en sum av stambrøker, for eksempel

En slik oppdeling i stambrøker kan gjøres på mange måter, og hva som lå bak egypternes valg av oppdeling, er ikke kjent.A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.68 Rhind-papyrusen starter med å gi en tabell over en oppdeling for brøkene for alle oddetall mellom 5 og 101.

For å beregne 2/3 av brøken 1/5, bruker Rhind-papyrusen en metode basert på formelen

og svaret er gitt som

Dette kan indikere at egypterne verdsatte generelle regler for problemløsning.

Også multiplikasjon av ulike brøk-kombinasjoner ble utført. Problem 13 i Rhind-papyrusen gjennomfører den følgende multiplikasjonen:

Algebra