Matematikk

thumb|Euklid blir av mange regnet som geometriens far, her i et maleri av Rafael.

Matematikk kan beskrives som en gruppe relaterte emner der en studerer objekter karakterisert med størrelse, orientering og/eller form, og også relasjoner mellom disse objektene. Det finnes imidlertid ingen allment anerkjent definisjon av matematikk. Faget kan også omtales som en vitenskap som undersøker abstrakte strukturer, deres egenskaper og mønstre. Studiet av tall og bruk av tall er sentralt i all matematikk.

Matematikk kan også betraktes som et formelt språk, med egne symboler, tegn og terminologi, der formalismen blir brukt til å beskrive abstrakte objekter, relasjoner og strukturer. En matematisk teori er en noenlunde helhetlig kunnskapsmengde, basert på matematiske begrep og uttrykt i et matematisk språk. Matematiske teorier blir verifisert i en streng deduksjonsprosess, ut fra spesifiserte aksiomer og definisjoner.

Bruken og studiet av matematikk har dype historiske røtter, og spor kan føres langt tilbake i tid til oldtidens Babylon, Egypt, Kina og India. Fra et praktisk behov for å kunne telle, måle og sammenligne størrelser, har faget utviklet seg gradvis i mer og mer abstrakt retning. Mange store vitenskapsmenn gjennom historien har beskjeftiget seg med matematiske problemstillinger, som Euklid, Pytagoras, Galileo Galilei og Isaac Newton. Utviklingen av matematikk har vært gjensidig påvirket av utviklingen av fag der en har brukt matematikk som hjelpemiddel og verktøy. Faget har også alltid fascinert i kraft av seg selv og vært studert uten tanke på anvendelser.

Matematikk inngår som verktøy i nær sagt alle former for vitenskap: naturvitenskap, samfunnsfag, medisin og musikk. Som verktøy kan matematikk brukes til å lage ideelle beskrivelser av deler av det virkelige liv, og fra en matematisk teori vil en være i stand til å trekke matematiske slutninger om fenomenet eller objektet som studeres. Også industrien bruker mange matematiske modeller, som ledd i design, produksjon og i beslutningsanalyse.

Faget matematikk undervises på alle trinn i utdanningssystemet, fra barn begynner å lære å telle og legge sammen, og videre til universitetsnivå. En matematiker er en person med utdanning i matematikk eller som arbeider med matematiske problemstillinger. Undervisning og læring i matematikk blir behandlet i matematikkdidaktikken.

På universitetsnivå er matematikkundervisningen nær knyttet til forskning i faget. Forskning i matematikk utføres i Norge også ved forskningsinstitutter som SINTEF, NORCE og Norsk Regnesentral, samt i flere industribedrifter. Matematisk forskning forsøker å bevise hypoteser og formodninger, utvikle matematiske arbeidsmetoder og å bygge nye matematiske teorier.

En lang rekke emner og disipliner inngår i matematikk, og grenser mellom de ulike disiplinene er ikke alltid presis. Grunnleggende matematiske emner er algebra, aritmetikk, geometri og matematisk analyse. I anvendt matematikk studerer en bruk av matematikk i andre fag, mens ren matematikk arbeider med faget uten tanke på anvendelser. Statistikk behandler fordelinger og variasjon i numeriske datamengder, og også tilfeldige prosesser. I numerisk matematikk studerer en metoder for beregninger med tall, ofte for å finne tilnærmede løsninger på matematiske problemstillinger.

På norsk brukes både «matematikk» og det uformelle kortordet «matte». Begrepet «regning» brukes gjerne om elementær aritmetikk, men også om kunnskap til «å bruke matematikk på en rekke livsområder».

Definisjon av matematikk

Mange forsøk er blitt gjort på å favne begrepet matematikk i en enkel, men samtidig presis definisjon. Det eksisterer imidlertid ingen allment akseptert definisjon av faget. Selv ikke en kjent bok som «What is Mathematics» gir noen presis definisjon, men hevder at spørsmålet stilt i boktittelen kun kan besvares gjennom lang erfaring med faget.

Matematikk som vitenskapsdisiplin thumb|left|Gregor Reisch, Margarita Philosophica (1508)

Carl Friedrich Gauss har omtalt matematikk som dronningen av vitenskap. Det har imidlertid i lang tid vært store diskusjon om hvilken kategori innenfor vitenskapene matematikken tilhører. I den engelsk- og fransktalende verden har man ofte ganske enkelt definert matematikk som vitenskap og man har som regel ikke gjort noen videre differensiering utover dette.

Mange matematiske problemstillinger og begreper er motivert ut fra spørsmål knyttet til naturen, for eksempel relatert til fysikk og ingeniørvitenskaper. På mange måter fungerer matematikken som en slags hjelpevitenskap for andre naturvitenskaper, men matematikk er ikke selv en naturvitenskap i egentlig forstand: Utsagn i matematikk er ikke avhengig av eksperimenter og observasjoner, slik som i de andre naturvitenskapene. Likevel blir det – for eksempel i tilknytning til Imre Lakatos' teorier – antydet en slags «renessanse for empirismen», hvor matematikerne setter opp hypoteser som de undersøker.

Ved norske universiteter er det vanlig at matematikk organiseres i samme fakultet som naturvitenskapene, i et matematisk-naturvitenskapelig fakultet eller teknisk-naturvitenskapelig fakultet.

I den videregående skolen står matematikk sentralt i realfagene. Historisk ble disse fagene oppfattet som eksakte vitenskaper.

Matematikken har også både metodiske og innholdsmessige fellestrekk med filosofien, og faget logikk hører hjemme i begge vitenskapene. Dermed kan en også argumentere for at matematikk hører med til de humanistiske vitenskapene.

Matematisk arbeidsform og formalisme

Matematikkens grunnlag er basert på definisjoner og aksiomer. En definisjon tilordner et begrep til et ord, for eksempel ordet «kvadratrot» og begrepet «tallet som ganget med seg selv blir radikanden». Et aksiom eller postulat er et grunnleggende utsagn som godtas uten bevis, som Euklids aksiomer for geometri og Peanos aksiomer for de naturlige tallene. Fra definisjonene og aksiomene kan man ved hjelp av logiske slutninger utlede ytterligere resultat, i en strengt deduktiv prosess. Et resultat er gjerne uttrykt i form av et teorem, også kalt en «sats» eller «setning». Et velkjent eksempel er den pytagoreiske læresetningen.

Et matematisk bevis er et logisk resonnement som bekrefter at et utsagn er «sant», i samsvar med og utledet fra forutsetningene. Bevisteori studeres som en del av matematisk logikk. Et lemma er i matematikk en mindre hjelpesetning som brukes til å bevise en større setning. Et matematisk korrolar er en slutning som kan trekkes fra en større setning.

Med sin aksiomatiske basis og deduktive arbeidsform er matematikk et aksiomatisk-deduktivt system.

I oppbyggingen av matematikk spiller matematisk objekt en viktig rolle. Dette er abstrakte elementer som er formelt og presis definert, og ofte karakterisert ved egenskaper som størrelse, orientering, form og struktur. Et av de enkleste og mest grunnlegende matematiske objektene er tall, men listen av definerte objekter er svært stor: vektorer, matriser, tensorer, funksjoner, distribusjoner, punkt, linjestykker, kurver, polygon, mengder, grupper, vektorrom osv.

Mellom matematiske objekt kan en definere mange typer relasjoner, for eksempel at tall A er større en tall B eller at trekant A er formlik med trekant B. Noen relasjoner kan generaliseres til svært mange typer objekter (som likhet og identitet), mens andre er mer spesifikt knyttet til et begrenset antall typer objekter (som formlikhet). En funksjon er en viktig form for relasjon mellom to mengder, som til et hver objekt i den ene mengden knytter et objekt i den andre mengden. Nært knyttet til funksjoner er også matematisk operasjoner - framgangsmåter som fra ett eller et endelig antall objekter definerer et nytt objekt.

Matematisk abstraksjon er en prosess der en beskriver objekter og relasjoner løsrevet fra den virkelige verden og også løsrevet fra spesifikke anvendelser. Et tall er i matematikk et abstrakt konsept eller objekt, løsrevet fra telling av fingre, sauer og andre gjenstander i det virkelige liv. Det er et grunnleggende mål i matematikk å kartlegge egenskaper og relasjoner og som gjelder for så stor klasse av objekter som mulig. Dette kan gjøres gjennom studiet av matematiske strukturer, som er mengder av abstrakte objekter utstyrt med et sett av relasjoner og operasjoner. Viktige matematiske strukturer er grupper, kropper, ringer, topologiske rom og vektorrom.

Matematiske symboler blir brukt til å representere matematiske objekter og relasjoner, inkludert operasjoner. Slik sett kan matematikk karakteriseres som et formelt språk. Det meste av matematisk notasjon som er i bruk i dag er innført etter 1600-tallet.

En matematisk teori er en noenlunde helhetlig kunnskapsmengde om et gitt emne, uttrykt i et matematisk språk. Eksempler kan være «funksjonsteori» og «gruppeteori».

Matematisk forskning

Forskningsmiljøer Matematisk forskning utføres ved universiteter og høyskoler, ved frittstående forskningsinstitusjoner og i industrien. I Norge utføre forskning i matematikk ved universitetene i Agder, Bergen, Oslo, Stavanger og Tromsø. Både SINTEF, NORCE og Norsk Regnesentral er frittstående institusjoner med aktiviteter i matematikk.

Forskningspriser

Det eksisterer mange forskningspriser særskilt rettet mot matematikk, og både Fieldsmedaljen og Abelprisen er blir kalt «nobelprisen i matematikk». Fieldsmedaljen er oppkalt etter den amerikanske matematikeren John Charles Fields, og prisen deles ut hvert fjerde år av den frittstående organisasjonen International Mathematical Union. Abelprisen er oppkalt etter den norske matematikeren Niels Henrik Abel og deles ut årlig av Det Norske Videnskaps-Akademi.

Andre kjente priser som deles ut spesifikt i matematikk er Leroy P. Steele-prisen, Shawprisen og Wolfprisen. Mer generelle vitenskapspriser er også tildelt matematikere, slik som Balzanprisen og Crafoordprisen.

Viggo Brun-prisen tildeles yngre norske forskere for fremragende bidrag i matematikk. Prisen er oppkalt etter den norske talteoretikeren Viggo Brun og deles ut av Norsk matematisk forening.

Nobelprisen deles ikke ut i matematikk. Spekulasjoner om at dette skyldes rivalisering mellom Alfred Nobel og den svenske matematikeren Gösta Mittag-Leffler kan ikke underbygges av historiske fakta. Flere matematikere har mottatt nobelprisen i andre fag: John Nash, Leonid Hurwicz og Clive Granger fikk hver for seg prisen i økonomi, mens Max Born har fått prisen i fysikk. Matematikeren Bertrand Russell fikk nobelprisen i litteratur, men i hovedsak for ikke-matematisk arbeid.

Forskningsutfordringer Matematisk forskning er like vanskelig å karakterisere som begrepet «matematikk», og forskningen spenner over et svært vidt felt av emner. I det følgende er noen former for problemstillinger i matematisk forskning skissemessig omtalt, uten krav på å være systematisk, ikke-overlappende eller fullstendig.

Kjente hypoteser og problem

Gjennom historien har det vært framsatt mange hypoteser og formodninger (antagelser, påstander, engelsk: conjectures), der en formulert mer eller mindre presise matematiske utsagn uten bevis. Noen av disse påstandene og hypotesene har vist seg å ikke være riktige, for eksempel Marin Mersennes berømte antagelse om primtall. Andre hypoteser har vært mulig å bevise: Fermats siste teorem ble skrevet som en merknad i 1637 og ble bevist først i 1995, av Andrew Wiles. Slike formodninger er ofte så mye omtalt og studert at de blir gitt egne navn, og mange står fremdeles uten falsifikasjon eller bevis, for eksempel Goldbachs formodning og Riemann-hypotesen.

En hypotese innebærer en gjetning om problemløsningen; en påstand om at det eksisterer en løsning eller et utsagn om formen på løsningen. Kjente problemstillinger kan imidlertid være formulert mer åpent, uten å si noe om løsningen, og også slike problemstillinger utfordrer forskningen.