Niels Henrik Abel () var ein norsk matematikar.
Saman med Sophus Lie blir Abel rekna som den fremste norske matematikaren på 1800-talet, og dei to er òg dei mest respekterte norske matematikarane gjennom alle tider. Innanfor matematikken har han framleis eit stort namn internasjonalt. Han er kanskje mest kjend for å ha bevist at den generelle femtegradslikninga ikkje kan løysast med dei elementære rekningsartane addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og rotutdraging, men òg for bidraget til gruppeteorien der han har fått oppkalla ein stor klasse grupper etter seg, nemleg Abelske grupper.
Biografi Oppveksten mini|venstre|Faren, Søren Georg Abel. mini|Mora, Anne Marie Simonsen. Niels Henrik vart fødd på Finnøy, der faren Søren Georg Abel var sokneprest. Abels far var ein framståande mann, og han forkynte trua på evna til mennesket til å løyse alle livet gåter ved hjelp av fornufta. Bestefaren til Niels Henrik, Hans Mathias Abel, flytta som sokneprest til Gjerstad på nyåret 1785. Då han døydde i 1804, flytta heile prestefamilien til Gjerstad i Aust-Agder. Søren Georg Abel vart sokneprest i Gjerstad etter faren sin, og her voks Niels Henrik opp saman med ein eldre bror, tre yngre brør og ei syster.
I 1815 vart Niels Henrik send heimefrå for å byrje på katedralskolen i Christiania. Familien hadde dårleg råd, såg både Niels Henrik og den eldre broren Hans Mathias hadde friplass på skulen. Skulen sin matematikklærar på den tida var Hans Peter Badar. Han underviste på gamlemåten og var kjend for å vere ganske brutal. Viss ein elev hadde gjort noko gale gjekk han ikkje av vegen for fysiske straff. I november 1817 slo han ein elev så hardt at denne døydde, og etter dette vart han fjerna frå stillinga.
Bernt Michael Holmboe vart då tilsett i stillinga, og han vart Abels matematikklærer. Holmboe var ein svært kunnskapsrik og dugeleg matematikklærar, og før han fekk stillinga på katedralskulen hadde han vore assistent for professor Christopher Hansteen ved universitetet. Undervisinga til Holmboe var ganske ulik frå den gamle læraren sin. Han byrja blant anna å gje elevane sjølvstendige oppgåver, noko som ikkje var så vanleg på den tida. Dette ser ut til å ha vore noko som gav gnisten til Abel sin interesse for matematikk, og etter kort tid oppdaga Holmboe at den unge studenten hadde eineståande matematiske evner.
Holmboe gav deretter Niels Henrik privatundervisning og rettleidde han i den matematiske litteraturen. Niels Henrik fekk låne matematikkbøkene til Holmboe frå universitetet, og han studerte dei ivrig. Ei av bøkene som hadde stor påverknad på han var innføringsboka til Leonhard Euler i matematisk analyse. Det har vorte sagt at utan påverknaden til Bernt Michael Holmboe er det ikkje sikkert vi hadde hatt nokon Abel (som den store matematikaren han vart).Bekken, 2003
Studenttilværet Som ung student hadde Niels Henrik truleg større kunnskapar i matematikk enn nokon andre i Noreg på den tida. Etter at Holmboe hadde lært han alt han kunne, hadde Abel studert vidare i verka til dei store matematikarane, som Newton, Euler, Lagrange og Gauss. Det fanst ikkje noko studium i realfag ved Det Kgl. Frederiks Universitet på den tida, så då Abel hadde teke dei førebuande prøvene var det ikkje så mykje meir for han å studere der, viss han ikkje skulle følgje dei vanlege embetsstudia. Han måtte difor studere på eiga hand.
Våren 1823 publiserte Abel ein artikkel i Magazin for Naturvidenskaberne, som var det første vitskaplege tidsskriftet i Noreg. På denne tida var det nokre av professorane ved universitetet som forstod at Abel måtte utanlands for å lære meir, men mangelen på middel gjorde at han måtte bli i Christiania. Sommaren 1823 fekk han likevel høvet til å reise til København og vitje Degen, den fremste matematikaren i Norden. Det var under dette opphaldet Abel byrja studia av elliptiske funksjonar, som han seinare skulle bli så kjend for. Her møtte han òg Christine Kemp, som han vart forlova med året etter. Dei to vart forlova i Son jula 1824 Abel var då privatlærer i matematikk der for Johan Fredrik Straum, son av den lokale overtollbetjenten. Dette var noko han hadde teke på seg som ei teneste for venen sin studenten Morten Kjerulf, som underviste i latin og gresk, men som ikkje var matematikar. I Son fekk Abel vita at ein familie trong ein guvernante, og han var ikkje sein om å foreslå Kemp.
Utanlandsopphaldet I eit sterkt ynske om å kome utanlands, skreiv Abel eit personleg brev til kong Karl III Johan, og til slutt fekk han sitt etterlengta stipend. Hausten 1825 reiste han ut. Planen var at han skulle reise til Göttingen for å vitje Gauss, og deretter ferd vidare til Paris. Då han kom til København endra han derimot plana og reiste til Berlin i staden. Her møtte han August Leopold Crelle, som var ein matematikkinteressert ingeniør. Crelle hadde lenge ynskt å gje ut eit matematisk tidsskrift som kunne ta opp kampen med dei veletablerte franske, og våren 1826 kom første nummer av Journal für die reine und angewandte Mathematik ut (ofte kalla Crelles Journal). Her skulle Abel publisere det meste av det han skreiv, og det var mykje på grunn av artiklane til Abel at tidsskriftet raskt fekk ry som éit av dei leiande i Europa.
Den første artikkelen Abel publiserte i Crelles Journal var ei utviding av beviset for at ein generell femtegradslikning ikkje kan blir løyst ved rotutdraging. Etter opphalda til fire månader i Berlin reiste Abel vidare i retning Paris. På Abels tid representerte Paris det viktigaste matematiske miljøet i verda, og byen var éit av hovudmåla på den store utanlandsreisa. Her verka store matematikarar som Cauchy, Poisson, Legendre og Fourier. Laplace var ikkje lenger aktiv, men Abel hadde studert arbeida hans og hadde stor respekt for han. Sommaren 1826 kom han endeleg til Paris, og han byrja arbeidet med den såkalla Paris-avhandlinga. Hovudfokus i denne avhandlinga er eit addisjonsteorem for elliptiske integral. I oktober 1826 leverte han inn den store avhandlinga si til vitskapsakademiet, og han vart verande ut året for å vente på svar. Svaret uteblei, og Abel mistreivst stadig meir i byen. I tillegg var han vorte sjuk, og han følte seg dårleg. Opphaldet i Paris vart skuffande for Abel. Han opplevde den store Cauchy som både sær og arrogant, og Poisson, Fourier og andre av matematikarane frå Paris jobba stort sett berre med fysikk på den tida. Ved årsskiftet 1826/1827 reiste Abel tilbake til Berlin. Han fekk då tilbod om å bli redaktør av Crelles Journal, men på grunn av hjemlengsel takka han nei. Crelle på sida si byrja å arbeide for å gje Abel ei sikker stilling i Berlin.
Heimkomsten Medan Abel var i Paris fekk han tuberkulose, og han var allereie merkt av sjukdomen då han vende heim i mai 1827. Stillinga i Berlin drog ut, og Abels lønsvilkår kom heller ikkje i orden. Likevel fortsette han arbeidde sitt, og på hausten 1827 arbeidde han først og fremst på den store avhandlinga om elliptiske funksjonar. Då denne avhandlinga var avslutta tok han opp att arbeidet med likningsteori. Gjennom publikasjonane sine i Crelles Journal byrja Abel så lite å oppnå ry og heider i utlandet, men heime i Noreg levde han stadig under tronge økonomiske kår. I september 1828 sende Legendre, Poisson, Lacroix og Baron de Maurice eit brev til kong Karl Johan om situasjonen til Abel. Målet var å få oppretta ei stilling for Abel i Stockholm. Samstundes arbeidde Crelle stadig for å få oppretta eit professorat for Abel i Berlin.
Abels forlovde, Christine Kemp, hadde fått stilling som guvernante på Froland Verk, og jula 1828 var dei saman der. Abel var stadig meir prega av sjukdomen, og då julefeiringa var over klarte han ikkje å returnere til Christiania. Då han forstod at det byrja å gå mot slutten skreiv han ned eit samandrag av beviset for det vi kallar for Abels addisjonsteorem. Dette vart sendt til Crelle. 6. april 1829 enda Abel dagane sine i sjukdom og fattigdom på Froland Verk. Berre få dagar seinare skreiv Crelle gledesstrålande eit brev frå Berlin der han kunne kunngjere at no var Abel sikra fast stilling og ei lysande framtid i byen.
Niels Henrik Abel døydde berre 26 år gammal av tuberkulose. Han ligg gravlagd på Froland kyrkjegard.
Abels matematikk For mange så er det nok femtegradslikninga som blir forbunde med Niels Henrik Abel, men Abel har sett store spor etter seg i matematikken på fleire område. Arbeida hans har nok hatt størst innverknad på tre hovudområde: likningsteori, teoriane om elliptiske funksjonar og uendelege rekkjer.
Likningsteorien Menneska har i fleire tusen år løyst likningar av ulike slag. Dei gamle babylonarane kunne løyse andregradslikningar, medan italienske reknemeistrar som Cardano, Tartaglia og Ferrari fann metodar for å løyse likningar av tredje og fjerde grad. På Abels tid var ein av dei største utfordringane å finne ein metode for å løyse femtegradslikninger på same måte som ein kan løyse likningar av andre, tredje og fjerde grad. Ein ynskte altså å finne ein metode for å finne røtene av ein generell femtegradslikning av typen:
Allereie medan Abel var elev ved Katedralskolen hadde han funne ein formel for å løyse slike femtegradslikninger, og korkje Abel eller nokre andre matematikarar i Noreg klarte å finne nokre feil i formelen. Til slutt oppdaga Abel sjølv at denne formelen hans umogleg kunne vere generell og gjelde for alle femtegradslikningar. Etter kvart vart han meir og meir overtydd om at det ikkje fanst noka slik generell løysing, og at femtegradslikningar ikkje kunne løysast ved hjelp av ein slik generell formel. På den tida visste ikkje Abel at italienarar Paolo Ruffini hadde levert eit bevis for dette omtrent 25 år før, men etterkvart fann Abel ut at korkje Ruffini sitt bevis eller hans eige første forsøk på eit slikt bevis var haldbare. Abel leverte etter kvart to heilt fullstendige bevis for dette, og setninga blir i dag kalla Abel-Ruffinis teorem.
Det er derimot viktig å vere klår over at Abel-Ruffini sitt teorem ikkje seier at generelle femtegradslikningar er uløyselege. Det setninga viser er at dei ikkje lèt seg løyse ved rotutdraging, slik tilfellet er for andre-, tredje- og fjerdegradslikningar. I fundamentalteoremet til algebraen viste Gauss lengje før Abel si tid at alle slike likningar har ei løysing.
Elliptiske funksjonar mini|Kurven til ein såkalla lemniskat Elliptiske funksjonar kan på mange måtar sjåast på som forenklingar av trigonometriske funksjonar (som til dømes sinus- og cosinus-funksjonane). Ein brukar elliptiske funksjonar til dømes når ein skal rekne ut lengda på buene til ellipsar eller svingradiusen til ein pendel. Etter reisa til København i 1823 arbeidde Abel mykje med slike funksjonar. Genistreken til Abel var å sjå på desse funksjonane på ein heilt annan måte enn det som var vorte gjort til då. I staden for å studere sjølve funksjonane, såg han på dei omvende funksjonane (omvende funksjonar bli òg ofte kalla for inverse funksjonar).Holme, 2004, s. 404 Gjennom slike metodar, som Abel var først ute med, viste han blant anna at elliptiske funksjonar har to sjølvstendige periodar.
Den tyske matematikaren Carl Gustav Jacob Jacobi hadde òg arbeidt mykje med elliptiske funksjonar på denne tida, og det utvikla seg etter kvart kappløpa til eit slag mellom han og Abel. Då Abel var omtrent ferdig med teorien sin, brukte han all energien sin på denne for å unngå at Jacobi skulle oppdage noko liknande og publisere det før han. Resultatet vart at Abel var først ute, og han sjølv skildrar den endelege avhandlinga som «dødelsen av Jacobi» i eit privat brev.
Uendelege rekkjer I matematikken er ei rekkje ein sum av ein endeleg eller uendeleg følgje av tal. Ei endeleg rekkje kan handsamast med verktøy frå elementær algebra, medan ei uendeleg rekkje krev verktøy frå matematisk analyse.