二項級数

数学の特に初等解析学における二項級数（にこうきゅうすう、）は二項式ののマクローリン級数を言う。

定義具体的に、を任意の複素数として、函数がで与えられるとき、マクローリン展開の右辺に現れる冪級数を二項級数と言う。ここで、上の式は一般二項係数

が用いられている。

冪指数が自然数のときは、上記の級数の番目以降の項はすべて零になる（明らかに、各項の因子にが現れる）から、このとき級数は有限和であって、代数的な二項定理が導出される。任意の複素数に対して、二項級数を

なる形に書くことができるが、これは特ににおいて負の整数冪を扱う際に有用である。この式自体はにおいてを代入して、二項係数の等式を適用すれば導出される。

収束性級数の収束は冪指数と変数の値に依存する。より具体的に、

いまは非負整数ではないとし、の場合を考えると、上で述べたことから次のことが追加で言える: ならば絶対収束する。ならば、では条件収束し、では発散する。ならば発散する。

二項級数の和の計算について通常の論法は以下のようにする: 二項級数を収束円板内で項別微分して式を用いれば、この級数の和が常微分方程式を初期値のもとで解いた解析函数解であることが知れる。この初期値問題の唯一の解はであり、それはつまり（少なくともにおいて）二項級数の和である。級数が収束する限りにおいて、この等式をにまで延長できることは、アーベルの連続性定理をの連続性に基づいて適用した帰結である。

歴史自然数冪以外の二項級数に関する結果が初めて得られたのは、アイザック・ニュートンによる、ある種の曲線の下に囲われる面積の研究においてであった。この結果をが有理数であるところのの形の式として利用して、ジョン・ウォリスは（現代的な記法で書けば）後続するの係数列は先行する係数に（自然数冪のときと同様に）を掛けることで求められることを発見した。これは二項係数に関する公式を陰伏的に与えたに等しい。ウォリスは以下の実例を陽に記している

それゆえに、二項級数はニュートンの（一般）二項定理とも呼ばれる。のちにニールス・アーベルは1826年に『クレレ誌』に掲載された論文においてこの主題を取り上げ、特筆すべき収束問題として扱っている。

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