体論において、可換体 の拡大体 の元は、 係数の でない多項式が存在してその根となっているときに、 上代数的であると言う。 上代数的でない元は 上超越的であると言う。
これは代数的数と超越数の概念の一般化である。代数的数は有理数体 の拡大体 の元であって、 上代数的な複素数である。したがって は 上代数的な実数であって、自然対数の底 や円周率 は 上超越的な実数である。 上超越的な複素数は存在するが、すべての複素数 は実数体 上代数的である。なぜなら の根だからである。
特徴づけ のすべての元 は明らかに 上代数的である、なぜならば の根だからだ。より一般に、 の有限次拡大体のすべての元 は 上代数的である。 実際、 の有限次（ 次としよう）拡大は 上有限次元のベクトル空間である。したがって の間には線型従属な関係があり、 を根に持つ多項式が得られる。
代数的あるいは超越的な元という概念を、 と を含む の最小の部分環である を使って特徴づけることができる。環 の元は の多項式として書ける の元である。すなわち は多項式環 の を に写す環準同型 による像である。この準同型が単射でないことと多項式が で消えることは同値である。また、 が の多項式の根であれば、 は が根体であるような既約多項式（前の多項式の因数）の根である。まとめると 元 が 上超越的であることと、 と が同型である（同型は φ によって与えられる）ことは同値である。 元 が 上代数的であることと、 が体であることは同値である。 を、 を含む の最小の部分体とする（ の元は の有理式として書けるような の元である）。これによって再び定式化することができる。 元 が 上代数的であることと であることは同値である。 元 が 上代数的であることと の拡大 が有限次拡大であることは同値である。 （したがって1つ目の性質から、 上代数的な任意の元は の有限次拡大の元である）。
安定性 この特徴づけによって次のことが証明できる。 上代数的な2つの元の和と積は 上代数的である。実際、 と が 上代数的であれば、 と は に属する。これは の による拡大が 上したがって 上代数的であることからわかる。よって拡大 は の、したがって の、有限次拡大である（これは拡大次数の性質である）。そのすべての元は 上代数的である。
さらに、 上代数的な元 は でなければその逆元は を根にもつ多項式の相反多項式の根であり 上代数的である。結論： 上代数的な の元全体は の部分体をなす。
についての帰納法で次のことも言える。 が（有限個の） 上代数的な元であれば、これらの元を に添加して得られる拡大 のすべての元は 上代数的である。
すべての元が代数的であるような拡大を代数拡大と呼ぶ。代数拡大は有限次であるとは限らず、したがって有限個の代数的な元で生成されるとは限らない（記事代数拡大を参照）。
次数と最小多項式 K 上代数的な元の 次数 は拡大 の次数である。 は代数的なので、それは -ベクトル空間 の次元である。したがってそれはまた の最小多項式（a が消える最小次数のモニック多項式）の次数でもある。
結合多元環 の拡大 は体 上の結合多元環であり、定義はこの構造しか使っていない。したがってこれを一般化することができる。可換体 K 上の単位的結合多元環 の元が 上代数的であるとは、それを根にもつ 係数の でない多項式が存在することである。体の拡大の場合と同様に、多元環 が 上有限次元のとき、 のすべての元は 上代数的である。
参考文献