捩率テンソル（れいりつテンソル、）とは、アフィン接続に対し、
により定義されるテンソルである。「捩率」という名称に関してはLoring W. Tuは「を「捩率」と呼ぶうまい理由は無いように見える」#Tu p.44. 原文「There does not seem to be a good reason for calling the torsion."」と述べており、Michael Spivakも同様の事を述べているなど#Spivak p.234. 「誰も「捩率」という用語によい説明をつけられないように見える」。原文「no one seems to have a good explanation for the term "torsion" in this case」.、「捩れ」としての意味付けはできない。
しかし後述するようにねじれテンソルは微分の非可換性を表す量として意味づけでき、さらにカルタン幾何学における曲率概念の「並進」部分としても意味づけできる。
定義と性質
準備
捩率テンソルを定義するため、アフィン接続の定義を述べる：ここで、、は上のベクトル場であり、、は実数であり、、、は上定義された任意の実数値可微分関数であり、は点においてとなるの切断であり、はの方向微分である。
定義
性質 明らかに次が成立する：局所座標で
である（アインシュタインの縮約記法で表記）。ここでであり、はクリストッフェル記号
である。この具体的表記から以下の系が従う：
よって特に
とみなせる。また
と書くとき、次が成立する#Tu p.100.#Wendl4 p.102.：よって捩率テンソルが恒等的にになる接続、すなわち捩れなし（）の場合、は、に対して対象なテンソルになる。このため捩れなしの接続の事を対称（）な接続ともいう。
外微分に対し、次が成立する：すなわちが捩れなしである事は、が外微分と「両立」する事と同値である。
意味づけ 「捩率」という名称に関してはLoring W. Tuによれば「を「捩率」と呼ぶうまい理由は無いように見える」が、このテンソルには以下のような意味付けが可能である。
なめらかな任意の写像に対し、リー括弧の性質よりであることから、とすると、次が成立する：
すなわち捩率テンソルは2つの微分の非可換度合いを表す量である#Wendl4 p.101.。
他の概念との関係性 リーマン多様体におけるレヴィ・チヴィタ接続は捩率テンソルがでしかも計量と「両立」するアフィン接続として特徴づけられる：
またをアフィン接続とするとき、と（パラメータを込めて）同一の測地線ここで「とがパラメータを込めて同一の測地線を定める」はがの測地線であれば、同じパラメータに対してがの測地線になり、その逆も成り立つという意味である。
を別の変数に変換したがの測地線になる場合は考慮していない。を定め、しかも捩れがないアフィン接続が存在する：また次が成立する：
捩率形式 定義
さらに行列値1-形式を
により定義し、を基底に関するの接続形式といい、曲率テンソル
に対し、行列値2-形式を
により定義し、を基底に関するの曲率形式という。
性質 局所的な基底の双対基底をとすると、これらは1形式である。これらを並べた縦ベクトルをとする。このとき、次が成立する：
ここでウェッジ積は行列とベクトルの積を用いてにより定義される。、も同様に定義される。また曲率形式は以下を満たす：接続行列のウェッジ積は行列積の事である。やも同様に定義する。
ビアンキの第一および第二恒等式は以下のようにも書くことができる：ここで添字は「」で考える。すなわち「」は巡回和である。
フレームバンドルにおける捩率形式 点に対し、の基底全体の集合をとし、とすると、には自然に主バンドルとしての構造が入る。を（の接バンドル）のという。
本節では、捩率形式をフレームバンドル上のベクトル値微分形式として再定義し、その性質を見る。
準備
フレームバンドル上に捩率形式を定義するため、いくつか定義を導入する。には主接続でその接続形式が
を満たすものが一意に存在する#Tu p.268.。ここでは開集合上定義されたの基底に関するの接続形式であり、はをからへの写像とみなしたときのの引き戻しである。
さらに上定義されたベクトル値1-形式をとに対し、 where となるように定義する。をの標準形式（）という#Kobayashi-Nomizu-1 p.118.。の双対基底をとすると、定義より明らかに
である。
定義 フレームバンドル上の捩率形式および曲率形式を第一および第二構造方程式により定義する：
性質 定義から明らかなように次が成立する：よって特に、アフィン接続の捩率形式と曲率形式が構造方程式やビアンキ恒等式を満たす事から、主接続の捩率形式、および曲率形式も構造方程式やビアンキ恒等式を満たす：
第一構造方程式： ビアンキの第一恒等式： 第二構造方程式： ビアンキの第二恒等式：
また主バンドル上の共変外微分を用いると、捩率形式と曲率形式は以下のようにも表現できる事が知られている：
カルタン幾何学における捩率形式の解釈
カルタン幾何学とは、直観的には多様体の各点における「一次近似」が等質空間とみなせるような上の幾何構造の事である。等質空間をのモデル幾何学と呼び、どのようなモデル幾何学を選ぶかにより様々なカルタン幾何学が定義できる。
本節ではアフィン空間をモデルとするカルタン幾何学における、捩率形式の解釈を述べる。なお、カルタン幾何学ではそれ以外の場合に対しても捩率を定義できるが一般の場合の捩率に関してはカルタン幾何学の項目を参照されたい。
アフィン空間 まずアフィン空間の定義を簡単に述べる。
アフィン空間とは、
の事であり、にはアフィン同型群
が
により作用している。アフィン同型群は半直積
で書き表せる。の元が上の一点を固定する変換なのに対し、の元はの元をだけ動かす上の並進であるとみなせる。
アフィン空間をモデルとするカルタン幾何学 を（の接バンドル）のフレームバンドルとするとき、通常の主接続の接続形式はのリー代数に値を取るが、アフィン空間をモデルとするカルタン幾何学ではではなくのリー代数
に値を取る接続形式（カルタン接続）を用いる#Sharpe p.184.。をカルタン接続とすると、がに値を取ることから、
のように成分表示できる。ここではに値を取り、この事からは通常の主接続であるとみなせる。またカルタン幾何学では各に対し、
が全単射になることを要請するが、この要請のもとは標準形式と一致する事を示す事ができる#Sharpe p.191.。
捩率形式の意味づけ
カルタン幾何学ではカルタン接続に「第二構造方程式」を適用した
を（カルタン幾何学における）曲率という#Sharpe p.184.。これを成分で書くと、第一および第二構造方程式から、
と（通常の接続の意味での）曲率形式と捩率形式で書ける。の定義から、行列の右上の成分は並進に対応していたので、以上のことから捩率形式はカルタン幾何学の意味での曲率の並進部分である事がわかる。
注 出典
注釈
参考文献