位相群の群環

数学において、局所コンパクト群の群環（ぐんかん、）とは、その群の表現が適当な環の表現の表現として読み替えることができるような（いくつかの）構成法が与えられたときの、その環（ふつうは作用素環あるいはもっと一般のバナハ代数）を総称して呼ぶものである。そういった環は、位相を抜きにして考えた群に対する群環と同じような働きを果たす。

群環 Cc(G) 函数解析学、特に調和解析で用いる目的で、純代数的な群環の構成を位相群に対するものへ敷衍することは意味がある。が局所コンパクトハウスドルフ位相群である場合には、はハール測度と呼ばれる本質的に一意な左不変可算加法的ボレル測度を持ち、ハール測度を用いて上のコンパクト台つき複素数値連続函数全体の成す空間の上に畳み込み演算を定義することができる。さらにに任意に与えられたノルムによる完備化も群環となり得る。

畳み込み演算はの任意の二元に対してを、において

と置くことによって定められる。事実、が連続であることは優収斂定理から直ちに従うし、中黒をの積として

が成り立つから、は確かにに属する。または

で定義される対合も持つ。ただしはのモジュラスである。この対合のもとでは *-環を成す。

定理ノルムのもとではもつ対合ノルム代数を成す。

この代数の近似単位元はコンパクト集合からなる（群の）単位元の近傍基で添字付けることができる。実際、を単位元のコンパクト近傍とし、に台を持つ非負連続函数が

を満たすものをとれば、が近似単位元となる。群環が（単に近似単位元であるばかりではなく厳密な）単位元をもつための必要十分条件は、もとの群の位相が離散位相であることである。

離散群の場合のは複素係数の群環と同じものであることに注意。

この群環の重要性は、これがのユニタリ表現論を以下に述べるような意味で的確に捉えることができるという点にある。

定理を局所コンパクト群、をヒルベルト空間におけるの強連続ユニタリ表現とすると、はノルム代数の非退化有界 ∗-表現であり、写像はの強連続ユニタリ表現全体の成す集合との非退化有界 ∗-表現との間の全単射となる。この全単射はユニタリ同値と強束縛に矛盾しない。特にが既約であることと、が既約であることとは同値である。

ここで、ヒルベルト空間におけるの表現が非退化であるとは、

がにおいて稠密であることを言う。

畳み込み代数測度論の標準的な定理により、の -ノルムによる完備化はハール測度に関して可積分な函数（のふつうはハール測度零の集合上でのみ異なるような函数を同一視したもの）全体の成す空間に同型である。

定理は畳み込み積、上述の対合、-ノルムのもとでバナハ ∗-環を成す。は有界な近似単位元も持つ。

群 -環以下、は離散群の群環とする。

局所コンパクト群に対し、の群 -環はの -展開環、すなわちがヒルベルト空間におけるの非退化 -表現の全てを亙るときの最大 -ノルム

に関するの完備化として定義される。が離散のときは三角不等式により、そのようなの何れに対しても三角不等式

が成り立つから、このノルムは矛盾なく定まる。

定義により、は以下の普遍性を持つ。から適当な（適当なヒルベルト空間上の有界作用素全体の成す -環）への任意の -準同型は包含写像を経由する。

被約群 -環被約群 -環はノルム

に関するの完備化である。ただし、

は -ノルムとする。の -ノルムに関する完備化はヒルベルト空間であるから、この -ノルムは上のを畳み込む作用による有界作用素のノルムであり、従って -ノルムになる。

あるいは同じことだが、は上の左正則表現の像全体で生成される -環である。

一般にはの商であり、この被約群 -環が先の非被約群 -環と同型となる必要十分条件はが従順であることである。

群フォンノイマン環の群フォンノイマン環はの展開フォンノイマン環である。

が離散群のときは、ヒルベルト空間においてはその正規直交基底になる。はに基底ベクトルの置換として作用するから、複素群環を上の有界作用素全体の成す多元環の部分多元環と同一視することができるが、この部分多元環の弱閉包はフォンノイマン環である。

の中心は共軛類が有限となるようなの元を用いて記述することができる。特に、の単位元がそのような性質を持つ唯一の元である（つまり、がを持つ）ならばの中心は単位元の複素数倍のみからなる。

がに同型となるための必要十分条件は、可算従順かつ無限共軛類性質を持つことである。

位相群の群環

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