レピュニット

レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。この名前は repeated unitを省略した単語であり、アルバート・ベイラーが1964年の論文で命名した。

10進法における 桁のレピュニットは の形に表される。 = 2, 19, 23, 317, 1031, ... () のときに、 は素数となる。2進法における 桁のレピュニットはメルセンヌ数 である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数（またはレプユニット素数、）という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質 m が n を割り切るならば、Rm は Rn を割り切る。よって、n が合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 だけである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 だけであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a)。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるので、すべてズッカーマン数である。

Rn は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 30 のときも含む）は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数 偶数 - 11 4の倍数 - 11・101 6の倍数 - 3・7・11・13・37 3の倍数 - 3・37 5の倍数 - 41・271 7の倍数 - 239・4649 17の倍数 - 2071723・5363222357 など

901型の例 前述のとおり、R2n は11つまりR2 で割り切れる。同様に、2×n桁のR2n は、n桁のRn で割り切れる。さらに、nが奇数のとき、Rn は11で割り切れないから、R2 と Rn は互いに素となる。よって、R2nは、R2 × Rn で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、n−1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると、次のようになる。

n（奇数） 2 × n R2n R2nの値（2×n桁） R2 × Rn R2 × Rnの値（n+1桁） R2n ÷ R2 ÷ Rnの値（n−1桁） R2n ÷ R2 ÷ Rnの素因数分解3 6 R6 111111＝ R2 × R3 1221 × 91 7・13510 R10 1111111111 R2 × R5 122221 9091 素数7 14 R14 11111111111111 R2 × R7 12222221 909091 素数918 R18 111111111111111111 R2 × R9 1222222221 90909091 7・13・19・525791122 R22 1111111111111111111111 R2 × R11 122222222221 9090909091 11・23・4093・8779

n が偶数のときのR2n、その他 についての例は次のとおり。

R12 = 11222211 × 9901 R20 = 1222210000122221 × 9091 R24 = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001 R28 = 1222222100000012222221 × 909091 R36 = 111111222222222222111111× 999999000001 R39 = 123333333333321 × 900900900900990990990991 など

R6 = 11 × (9091 + 1010) R8 = 11 × (909091 + 101010) R10 = 11 × (90909091 + 10101010)

电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクスAufgaben und Lösungen 1. Runde 2016

1と0だけで表す例 n (10n/2 − 1) / 9 Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1. 10n/2 + 1 R2 1 1 × 11 11 R4 11 11 × 101 101 R6 3・37 111 × 1001 7・11・13 R8 11・101 1111 × 10001 73・137 R10 41・271 11111 × 100001 11・9091

n R2 1 × 11 1 × 11 R3 # 1 × 111 R4 $ 1 × 1111 11 × 101 R5 % 1 × 11111 R6 & 1 × 111111 111 × 1001# 11 × 10101 R7 * 1 × 1111111 R8 $ 11 × 1010101 1111 × 10001 R9 # 111 × 1001001 R10 % 11 × 101010101 11111 × 100001R12 & 11 × 10101010101 111111 × 1000001$ 111 × 1001001001 # 1111 × 100010001 R14 * 11 × 1010101010101 1111111 × 10000001

n R6 1 × 111 × 1001 91・11 R12 11 × 10101 × 1000001 9901・101 R18 111 × 1001001 × 1000000001 999001・1001 R24 1111 × 100010001 × 1000000000001 99990001・10001

n R4 11 × 101 R8 101 × 110011 R12 1001 × 111000111 1221001221 × 91 R16 10001 × 111100001111 R20 100001 × 111110000011111 1222210000122221 × 9091 R24 1000001 × 111111000000111111 1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数 World!Of Numbers n Rn×(10n+1) Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem）nombre - onze en mathspersistance et repdigits R2 62 − 52 62 − 52 62 − 52 R3 562 − 552 562 − 552 R4 562 − 452 5562 − 5552 R5 55562 − 55552 R6 5562 − 4452 555562 − 555552 50562 − 50452 6562 − 5652 R7 5555562 − 5555552 R8 55562 − 44452 （省略） R9 （省略） 5005562 − 5004452 R10（省略） （省略） 656562 − 565652R11 （省略） R12（省略） （省略） 500055562 − 500044452 R13 （省略） R14（省略） （省略） 65656562 − 56565652

レピュニット素数 現在、Rn で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年9月にハーヴェイ・ダブナーが確率的素数として発見してからポール・アンダーウッドによって素数判定されるまで22年6月を要した。2023年5月に素数であることが証明された R86453 は、2000年10月にリュー・バクスターが確率的素数として発見してからアンドレアス・エンゲによって素数判定されるまで22年7月を要したPrime pages: R(86453)。

2007年3月26日、ハーヴェイ・ダブナーは n=109297の場合が確率的素数であると発表しHarvey Dubner, R109297 に関するアナウンス、Number Theory List、その後n≦200000にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している。同年7月15日、マクシム・ヴォズニーはn=270343の場合が確率的素数であると発表したMaksym Voznyy, R270343 に関するアナウンス、Number Theory List。

2021年4月19日、セルゲイ・バタロフとライアン・プロッパーはn=5794777を、同年5月8日にn=8177207を確率的素数であると発表した。発表時点ではそれぞれが知られている最大の確率的素数であった。

2025年5月29日、楕円曲線素数判定法によりn=109297の場合が素数であることが証明された。

Rn = (10n − 1) / 9 No. n 年 発見者 素数判定 1 2 BC 478 - 素数 2 19 1908-06-27 - 素数 3 23 1933-01-23 - 素数 4 317 1978-05-16 ヒュー・ウィリアムズ 素数 5 1031 1986-10-05 ヒュー・ウィリアムズ、ハーヴェイ・ダブナー 素数 6 49081 1999-09-09 ハーヴェイ・ダブナー 素数 7 86453 2000-10-26 リュー・バクスター 素数 8 109297 2007-03-26 ハーヴェイ・ダブナー 素数 9 270343 2007-07-11 マクシム・ヴォズニー 確率的素数 10 5794777 2021-04-19 セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー 確率的素数 11 8177207 2021-05-08 セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー 確率的素数

()

レピュニットの素因数分解 レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている。

基数 10 のレピュニットの R1 から R150 までの素因数分解の一覧を示す。

n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

※ 素因数の数（含重複）

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。