ゲーゲンバウアー多項式

thumb|300px|α =1 の場合のゲーゲンバウアー多項式 thumb|300px|α =2 の場合のゲーゲンバウアー多項式 thumb|300px|α =3 の場合のゲーゲンバウアー多項式 数学において、ゲーゲンバウアー多項式（ケーゲンバウアーたこうしき、）または超球多項式 (ultraspherical polynomials) とは、 (1849–1903) にちなんで命名された、区間 上で定義される重み関数 の直交多項式をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、ルジャンドル多項式及びチェビシェフ多項式の一般事例であり、の特殊事例である。

性質 次の母関数により定義される：

次の漸化式を満たす：

次の常微分方程式（ゲーゲンバウアーの微分方程式）を満たす：

ロドリゲスの公式により次のように導出できる：

次の直交関係を満たす：

ある角度の余弦を引数とする関数値について、次式が成り立つ：

の場合がルジャンドル多項式に、 の場合が第二種チェビシェフ多項式に相当する。

参考文献

関連項目 超球面