数学の分野におけるレヴィ–プロホロフ計量（レヴィ–プロホロフけいりょう、）とは、与えられた距離空間上の確率測度の系の上の計量のことを言う（すなわち、間隔の定義である）。フランスの数学者ポール・レヴィと、ソヴィエトの数学者の名にちなむ。レヴィ計量の一般化として、1956年にプロホロフによって導入された。
定義 を、ボレル完全加法族 を備える距離空間とする。可測空間 上の全ての確率測度の系を で表す。
部分集合 に対し、そのを
で定義する。ここで は を中心とする半径 の開球とする。
レヴィ–プロホロフ計量 は、二つの確率測度 と の間の距離を
と定めることによって、定義される。
確率測度に対して が成り立つことは明らかである。
人によっては、上述の定義の二つの不等式の内いずれかを省略したり、開あるいは閉のいずれかである のみを考えることもある。片方の不等式はもう片方を意味するが、開/閉を制限することは計量の定義を変える結果につながる。
性質 が可分であるなら、レヴィ–プロホロフ計量における測度の収束はと同値である。したがって、 は弱収束の位相の距離化である。 距離空間 が可分であるための必要十分条件は が可分であることである。 が完備であるなら も完備である。 に含まれる全ての測度が可分な台を持つなら、その逆も成立する。すなわち、 が完備であるなら も完備となる。 が可分かつ完備であるなら、部分集合 が相対コンパクトであることと、その -閉包が -コンパクトであることは同値である。
関連項目 レヴィ計量 ワッサースタイン計量
参考文献