テイラー展開

数学においてテイラー級数（テイラーきゅうすう、）は、関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開（テイラーてんかい）という。

テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 () とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。

関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似することができる。テイラーの定理はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はテイラー多項式と呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間（あるいは複素平面の開円板）でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数と呼ばれる。

前述の通り、一定の条件の下でテイラー展開の高次の項を無視することができる。例えば単振り子の問題では、振り子の振れ角が充分小さいことを利用して、正弦関数をで近似できる。このように、関数をテイラー展開することで計算が容易になり、また原点近傍の振る舞いを詳細に調べることができるようになる。

一実変数関数のテイラー展開

正弦関数のにおけるテイラー級数のうち次数の少ない項のみを抽出したもの

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点を含む実数の開区間上で無限回微分可能な関数が与えられたとき、べき級数

を関数の点まわりのテイラー級数という。ここではの階乗、はにおけるの次微分係数であるの次導関数は自身である。。また、便宜的には 1 であると定義する0の0乗も参照。定義の衝突を避けるならば、単にの項を明示的に書き、を含めない形で和を取り直せばよい。。テイラー級数が収束し、元の関数に一致するとき、はテイラー展開可能であるという。テイラー展開がある大域的な領域の各点で可能な関数は、その領域において解析的 () である、またはその領域上の解析関数 () であるという。

ここで一般には関数が無限回微分可能であってもそのテイラー級数がで収束するとは限らず、たとえ収束しても一致するとは限らないことに注意が必要である。一致するかどうかは、テイラーの定理における剰余項が 0 に収束するかどうかによって判定できる；ここで剰余項は、あるが存在して、

と書ける。または積分を用いて、次のように表せる。

また、この剰余項を評価することで関数の近似値を精度保証つきで数値的に求めることもできる（テイラーの定理#例を参照）。

特ににおける以下のような展開

をマクローリン展開（マクローリンてんかい、; 名称は数学者コリン・マクローリンに由来する）と呼ぶ。

マクローリン級数の例いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらはすべて複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。についてのforの範囲(収束半径)外の実数をに代入したら基本的に発散する。(ただし、元の関数が収束することもある）。

収束半径とxの絶対値が一致している場合､発散する事も収束する事もある。元の関数で発散する場合は収束半径とxの絶対値が一致しても発散する。

なお、の展開に現われる、二項展開の、の展開に現われるはそれぞれベルヌーイ数、二項係数、オイラー数である。また、はの逆関数であるとする。

多項式多項式をマクローリン展開したものは元の多項式自身である。指数関数

自然対数

幾何級数

二項定理

三角関数

双曲線関数

ランベルトのW関数

一変数複素関数のテイラー展開点を含む開集合上で微分可能、すなわち正則な複素関数が与えられたとき、べき級数

を関数の点まわりのテイラー級数という。正則関数の解析性から、点を中心としてに包含されるような任意の開円板上でこの級数はに収束する。

剰余項は複素線積分を用いて、次のように表せる：

ここでは、点とを囲み、周および内部がに含まれるような反時計回りの円周である。

多変数関数のテイラー展開テイラー展開は一変数関数のみならず、多変数関数にも適用できる。変数関数のテイラー展開は以下の式である。

多重指数記法を用いれば、変数関数のテイラー展開は次式で表現される。

アインシュタインの縮約記法を用いれば、多変数関数のテイラー展開は次式である。

上式のは微分演算子であり、ベクトル解析の記法ではに置き換えられる。一番後ろにがあるが、これはに左の演算子を作用させてからの引数としてを与えることを表していることに注意する。

脚注注

出典

参考文献

テイラー展開

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