単峰性

単峰性（たんほうせい、）は数学における概念の一つで、数学的対象が持ちうる性質である。ある数学的対象が単峰性を持つ時、その数学的対象は何らかの方法で定義された極大値をただ一点でのみ持つ。同じことを、その数学的対象が単峰であると表現することもある。

単峰の確率分布

統計学においては、単峰性の確率分布 () とは、その確率密度関数(連続分布の場合)または確率質量関数(離散分布の場合)について、あるが存在して以下で単調増加、以上で単調減少がするような確率分布を指す。このようなは最頻値またはモードと呼ばれる。単峰性の確率分布は、単に単峰分布と呼ばれることもある。

確率密度関数が極大値を複数持つ場合は、その数に応じて「二峰分布」「三峰分布」などと呼称される。は、単峰ではない確率分布全てを総称する。図1は、単峰性を持つ正規分布を示している。単峰分布の他の例としては、コーシー分布、T分布、カイ二乗分布、指数分布などが挙げられる。離散分布の中では、二項分布やポアソン分布も単峰性を持つとみなされるが、母数によっては隣接する2点で確率質量関数が最大となる場合もある。

確率分布に対する異なる定義確率分布が単峰である、ということを異なる意味で定義することがある。

連続確率分布では、その累積分布関数(CDF)に従って定義されることもある。この定義のもとでは、あるに対しての時にCDFが凸かつ、でCDFが凹である時に、その確率分布はをモードとする単峰分布であるという。なお、この定義のもとでは、連続一様分布やをはじめとする、ある範囲全てで最大値が得られる分布が単峰分布であることになる。通常、この定義では最頻値における不連続性が許容される。一般的に、連続分布では個々の値の確率はゼロとなるが、この定義では最頻値においてゼロではない確率、すなわちデルタ関数で表されるような「確率の原子」が存在することが許容される。

単峰性の基準は、分布の特性関数や、そのラプラス＝スティルチェス変換を通じて定義することもできる。

離散確率分布においては、確率の差の列における符号の変化の発生によって単峰性が定義されることもある。この定義のもとでは、確率質量関数が単峰であるとは、数列の(0を勘案しない)符号の変化がちょうど1回だけ起こることをいう。

単峰分布について成立する性質分布が単峰性であることは重要である。なぜなら、そこからいくつかの重要な帰結が導かれるからである。このため、与えられたデータセットが単峰分布に由来するかどうかを評価することもまた重要となる。単峰性に関するいくつかの検定については、を参照せよ。

不等式以下に、単峰分布の場合にのみ成立するいくつかの不等式を示す。

ガウスの不等式は、カール・フリードリヒ・ガウスが証明した単峰性分布が満たす不等式であり、確率変数がその最頻値から任意の距離以上離れている確率の上限を示す。具体的には確率変数が最頻値の単峰分布に従うとし、の期待値をとしたとき、非負実数に対してが成立する。

Vysochanskij–Petuninの不等式は、単峰分布に対して飲みに限定された代わりに精緻化されたチェビシェフの不等式である。チェビシェフの不等式は、いかなる確率分布においても、「ほぼすべての」値が平均値に「近い」ことを保証している。Vysochanskij–Petuninの不等式は、分布関数が連続かつ単峰であるという条件の下で、この値をさらに近い値へと精緻化する。更なる商あいは Sellke and Sellkeを参照せよ。

最頻値、中央値、期待値

単峰分布の場合、中央値と平均が互いに離れられる上限について、その分布の標準偏差を用いて

が成立する。ここで、は絶対値を表す。

2020年のBernard, Kazzi, Vanduffelによる研究では、上の式を一般化した形が見つかっている。興味のある単峰分布の確率密度関数をとしたとき、に対する分位数をを満たす実数として与える。この時、対称分位数平均と分布全体の平均との差に関して

が成立する。右辺が最小となるのはの時(すなわち、対称分位数平均が中央値に一致する時）である。このことが、平均のとして中央値が一般的に選ばれる理由となっている。さらに、の場合はガウスが導いた不等式を再現する。

同様の関係式が、中央値と最頻値についても示されている:

さらに、平均と最頻値の間にも次が成立する:

歪度と尖度 RohatgiとSzekelyによる研究によると、単峰分布の歪度と尖度について

なる不等式が成立する。ただし、Klaassen,Mokveld,van Esによる研究は、この不等式が、最頻値と平均が一致する単峰分布の集合など、特定の状況においてのみ当てはまることを示した。

同じ論文で、Klaassen,Mokveld,van Esは全ての単峰分布について成立する不等式

を証明した。この上界は、[0,1]上の連続一様分布と{0}における退化分布を等重みで混合した分布によって得られるため、鋭い上界である。

単峰性を持つ関数一般の関数には「最頻値」という概念を適用することはできないものの単峰性の定義は実数関数にも拡張できる。

一般的な定義は次のとおりである:関数は、ある値に対して、の範囲では単調増加(すなわち、ならばが成立する)であり、の範囲では単調減少である場合、単峰関数と呼ばれる。その場合、の最大値はであり、その他の局所極大値は存在しない。関数の単調性を証明するのは、しばしば困難である。その性質の定義を用いる方法もあるが、これは単純な関数にのみ適する。導関数に基づく一般的な手法も存在するが、その単純さにもかかわらず、すべての関数に対して成立するわけではない。

単峰関数の例としては、二次係数が負であるような二次関数やテント写像などがある。

上記定義は、そこに含まれる単調性が等号を許さない強い単調性であることから、時に「強い単峰性」と呼ばれることがある。一方、等号成立を許す弱い単調性に上の定義を読み替えることによって、弱単峰関数を定義できる。が弱単峰関数である場合、その最大値は、x の連続した範囲において達成されうる。

文脈によっては、「単峰関数」とは、極大値ではなく、局所極小値が1つしかない関数を指す場合もある。例えば、数値最適化を行う手法であるは、しばしばこのような関数を用いて説明される。この拡張の意味における単峰関数とは、局所極値が1つしかない関数であると言える。

単峰関数の重要な性質の一つは、黄金分割探索、、あるいは放物線補間などの探索アルゴリズムを用いて極値を求めることができるという点である。

一般化および拡張ある関数が S-単峰()であるとは、その関数のが、ある一点を除いて全て負であることをいうSee e.g. 。

計算幾何学においては、関数が単峰である場合、その関数の極値を求めるための効率的なアルゴリズムを設計することが可能となる。

ベクトル変数の関数に適用できる、より一般的な定義として次のようなものがある: が凸であるような、単射かつ微分可能な写像が存在する場合、は単峰である。この場合通常、G(Z) は連続微分可能であり、ヤコビ行列がではないことが求められる。

準凸関数および準凹関数は、単峰性の概念を、引数が高次元ユークリッド空間に属する関数に対して拡張するものである。

を実数に写す単峰関数は、単峰数列とも呼ばれる。単峰多項式とは、その係数が単峰数列である多項式のことである。

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