s-凸関数（s-とつかんすう、）は、凸関数の概念を一般化した関数のクラスの一つである。ある定数 を用いて定義され、通常の凸性は の特別な場合として含まれる。
主に分数階微積分学、フラクタル幾何学、および非線形解析における積分不等式の研究において重要な役割を果たす。
定義 実数空間の非負の部分集合（通常は ）上で定義された関数 が、ある固定された に対してs-凸であるとは、任意の および を満たす任意の に対して、次の不等式が成り立つことをいう。
この定義は、W. OrliczやW.W. Brecknerらによって導入された。なお、文献によっては という条件のもとで定義される場合もあり、これらは「Brecknerのs-凸性」などの名称で区別されることもあるBreckner, W. W. (1978). "Stetigkeitsaussagen für eine Klasse verallgemeinerter konvexer Funktionenに". Publ. Inst. Math.. 23: 13–20.。
動機 通常の凸性は、線型空間の構造に強く依存している。しかし、オルリッチ空間や、指数が の場合の 空間といった、局所凸ではない線型位相空間の研究においては、通常の凸性では不十分な場合がある。
s-凸性は、これらの「1より小さい指数」を持つ空間の性質を記述するために導入された。例えば、関数 （）は通常の意味では凸ではない（凹である）が、s-凸性の定義においては基本的な役割を果たす。このように、非整数次元や非線形性が強い現象を数学的にモデル化する際の道具として利用されている。
性質 s-凸関数は、通常の凸関数と類似した多くの性質を持つ一方で、特有の振る舞いも示す。
凸性との関係: のとき、s-凸関数の定義は通常の凸関数の定義と一致する。 単調性: であるとき、-凸関数は必ずしも -凸関数とは限らない。 値の範囲: s-凸関数は、定義域内のすべての点において非負でなければならない（）。これは、 の条件から導かれる。 連続性: s-凸関数は、定義域の内部において連続であるHudzik, H., & Maligranda, L. (1994). "Some remarks on s-convex functions". Aequationes Mathematicae. 48 (1): 100–111. doi:10.1007/BF01835976.。
関連項目 凸関数 イェンゼンの不等式 オルリッチ空間 エルミート＝アダマールの不等式 フラクタル
脚注