ホップ・ラックスの公式（ホップ・ラックスのこうしき、英語: Hopf-Lax formula）は、数学、特に偏微分方程式の理論において、特定のハミルトン–ヤコビ方程式の初期値問題に対する粘性解を具体的に与える公式である。エバーハルト・ホップおよびピーター・ラックスの研究にちなんで名付けられた。
この公式は、最適制御理論や変分法における「最小コスト」の概念と深く結びついており、物理学や最適化問題において重要な役割を果たす。
動機 ハミルトン–ヤコビ方程式は、一般に古典的な意味での滑らかな解（古典解）が有限時間で崩壊し、衝撃波のような不連続性が生じることがある。このため、解を適切に定義するために粘性解（viscosity solution）という概念が必要となる。ホップ・ラックスの公式は、ハミルトニアンが凸関数である場合に、この粘性解を最小化問題の形で見事に書き下したものである。
これは物理的には、ある地点 から出発して時刻 に地点 に到達する際の、初期コスト と移動コスト（ラグランジアン）の合計を最小化する経路を探す問題に対応している。
方程式の定義 次の1階非線形偏微分方程式の初期値問題を考える。
ここで、 は未知関数（位置 、時刻 ） は空間勾配 はハミルトニアンと呼ばれる関数 は初期データ である。
公式 ハミルトニアン が凸関数であり、かつ （超線形成長）を満たすとき、上記方程式の解 は次のホップ・ラックスの公式によって与えられる。
ここで、 は のルジャンドル変換（凸共役関数）であり、次のように定義される。
この は物理学におけるラグランジアンに相当する。
性質 ホップ・ラックスの公式で与えられる関数 は、以下の性質を持つ。 リプシッツ連続性: 初期データ がリプシッツ連続であれば、 も においてリプシッツ連続となる。 粘性解: はハミルトン–ヤコビ方程式の唯一の粘性解となる。 半凹性: ハミルトニアンが凸であれば、解 は空間変数に関して半凹関数（semi-concave）となり、衝撃波のような勾配の不連続性が許容される。
関連項目 ハミルトン–ヤコビ方程式 粘性解 ルジャンドル変換 変分法 最適制御理論 （保存則における対応する公式）
参考文献 Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, ISBN 978-0821849743. ピエール＝ルイ・リオン, Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations, Pitman, 1982.