関数列の収束（かんすうれつのしゅうそく、）は、数学、特に解析学において、ある集合上で定義された関数の列 が、極限となる関数 にどのように近づくかという態様を扱う概念である。
数列の収束とは異なり、関数列においては「点ごとの収束」だけでなく「関数全体の形としての収束」を考える必要があり、収束の態様によって極限関数の連続性や積分可能性、微分可能性が保たれるかどうかが決まる。
主な収束の種類 関数列 が定義域 上で極限関数 に収束する態様には、主に以下のものがある。
各点収束 各点収束（）は、定義域の各点において数列として収束することを指す。 定義: の各点 に対し、
が成り立つこと。 - 論法では、任意の と に対し、ある自然数 が存在して、
となることをいう。 特徴: は だけでなく、点 にも依存して良い。このため、点ごとに収束の速さが異なっていても許容される。
一様収束 一様収束（）は、定義域全体で「一斉に」収束することを指す。 定義: 任意の に対し、点 に依存しないある自然数 が存在して、
が成り立つこと。これは ノルム（本質的上限）による収束、あるいはノルム収束（強収束）の特別な場合に相当する。 特徴: 各点収束よりも強い条件である。視覚的には、十分大きな に対して、グラフ が を中心とする上下幅 の「帯」の中に完全に収まることを意味する。
広義一様収束 定義域 が位相空間であるとき、任意のコンパクト集合 上で一様収束することを広義一様収束（）という。複素解析における正則関数の列の解析などで重要となる。
ほとんど至るところ収束（概収束） ほとんど至るところ収束（）あるいは概収束は、測度論において用いられる概念である。 定義: 測度空間 上で定義された関数列に対し、収束しない点集合の測度が 0 であること。
確率論においては、これを殆ど確実収束（Almost surely convergence）と呼ぶ。
測度収束 測度収束（）は、関数が極限から離れる領域の測度が 0 に収束することを指す。 定義: 任意の に対し、
特徴: 確率論においては確率収束と呼ばれる。測度収束はキ・ファン距離（Ky Fan metric）によって距離化可能である。
Lp 収束 収束は、関数空間のノルムに基づく収束である。 定義: に対し、
特徴: の場合は平均二乗収束とも呼ばれる。これらは関数解析学におけるノルム収束（強収束）の代表例である。
弱収束 弱収束（）は、ノルム収束よりも弱い条件の収束である。 定義: 空間の共役空間の任意の要素（線形汎関数） に対し、
が成り立つこと。
収束の強弱 収束の概念の間には、以下のような強弱（包含）関係が存在する。ここでは、有限測度空間（）を仮定する。
一様収束 各点収束 ほとんど至るところ収束 ほとんど至るところ収束 測度収束 収束 測度収束 測度収束 部分列がほとんど至るところ収束 ノルム収束（強収束） 弱収束
なお、測度収束するがどの点でも収束しない関数列が存在するため、測度収束からほとんど至るところ収束は一般には導けない。
性質の継承 関数列の収束において最も重要な論点は、各 が持つ性質が極限関数 に引き継がれるかという点である。
性質 各点収束 一様収束 連続性 引き継がれない（極限が不連続になり得る） 引き継がれる（ も連続） 有界性 引き継がれない 引き継がれる 積分の順序交換 成立するとは限らない 成立する（） 微分の順序交換 成立するとは限らない が一様収束すれば成立
連続性の保持 各 が連続であっても、各点収束極限 が連続であるとは限らない。典型的な反例は （）である。この極限は で 、それ以外で となり不連続である。一方、一様収束であれば、極限関数 の連続性が保証される。
項別積分と項別微分 一様収束は、極限と積分の順序交換を正当化する。
微分については、より厳格な条件が必要である。関数列 $\{f_n\}$ がある一点で収束し、かつ導関数列 が一様収束するならば、 は一様収束し、
が成り立つ。
収束定理 関数列の収束の種類を架け橋とし、積分の順序交換や一様収束性を保証する重要な諸定理を挙げる。
ディニの定理 ディニの定理は、単調性と各点収束から一様収束を導く。 定理: をコンパクト集合とし、 上の連続関数列 が連続関数 に各点収束しているとする。もし各点 で が単調に増加（または減少）しているならば、その収束は一様である。
エゴロフの定理 は、有限測度空間において、ほとんど至るところ収束が「ほとんど一様収束」であることを示す。 定理: とする。関数列が にほとんど至るところ収束するならば、任意の に対し、測度が である集合 を除いた 上で一様収束する。
アスコリ＝アルツェラの定理 アスコリ＝アルツェラの定理は、連続関数族の集合がコンパクトになるための（収束する部分列を持つための）条件を与える。 定理: 有界閉区間上の連続関数族が一様有界かつ等程度連続であれば、一様収束する部分列を含む。
単調収束定理 単調収束定理（ルベーグの単調収束定理）は、非負単調関数列の積分と極限の交換を認める。 定理: 非負の可測関数列 が を満たしながら に各点収束するならば、積分と極限を入れ替えられる。
ルベーグの優収束定理 優収束定理は、積分の順序交換における最も汎用的な定理である。 定理: 関数列 が にほとんど至るところ収束し、さらにすべての に対し を満たす可積分関数 が存在するならば、極限の積分と積分の極限は一致する。
ヴィタリの収束定理 ヴィタリの収束定理は、測度収束が 収束を導くための必要十分条件を与える。 定理: 測度収束に加え、関数列が一様可積分であるとき、その収束は 収束である。
収束の判定法
ワイエルシュトラスのM判定法 関数項級数 の一様収束を判定するための強力な手法である。 定理: 全ての に対し となる定数 が存在し、級数 が収束するならば、 は 上で一様収束（かつ絶対収束）する。
上限による判定 一様収束は、ノルム空間における収束として捉えることができる。
とおくとき、 が に一様収束することと、 であることは同値である。
抽象的な空間における収束 関数をバナッハ空間などの点とみなす場合、以下の収束概念も重要となる。
収束: ルベーグ積分の意味で、 となること。一様収束とも各点収束とも異なる（一様収束より弱く、各点収束とは包含関係にない）。 弱収束: 任意の線形汎関数 に対して となること。
関連項目 連続関数 バナッハ空間 ヘリーの選択定理 フーリエ級数の収束
参考文献 杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会。 ウォルター・ルディン『数学解析概論』。