数学において、空でない有限集合 の上に作用する置換群 は、 が 上推移的に作用し、 の作用によって保存される分割が自明な分割（単一の集合への分割および 個の一元集合への分割）以外に存在しないとき、原始(的)置換群（げんしちかんぐん、primitive permutation group）と呼ばれる。一方、 が推移的であり、 によって保存される非自明な分割が存在するとき、 は非原始(的)置換群と呼ばれる。
原始置換群は推移的であるが、全ての推移的置換群が原始的であるとは限らない。最も単純な例は、正方形の頂点上に作用するクラインの四元群であり、これは 2 つの対角線への分割を保存する。その一方、置換群が自明な分割のみを保存するときは、2 つの元をもつ集合に自明群が作用する場合を除き、その群は推移的である。なぜならば、非推移的な作用においては、 の軌道が によって保存される非自明な分割をなすか、群の作用が自明であるかのいずれかであるからである。後者の場合、全ての非自明な の分割（これは のとき存在する）は により保存される。
この用語は、エヴァリスト・ガロアにより、彼の最後の手紙の中で導入された。彼はその手紙の中で、原始的なガロア群をもつ方程式のことを、フランス語でéquation primitiveと呼んでいる。
特性 "原始的"という用語を導入した同じ手紙の中で、 ガロアは以下の定理を主張している:もし が有限集合 に作用する原始的可解群であるならば、 の位数は素数 のべき乗である。それに加えて、 は 個の元からなる有限体上のアフィン空間によって特徴づけられ、 は にアフィン群の部分群として作用する。 が作用する集合 が有限集合の場合、その元の個数は の次数と呼ばれる。
ガロアによるこの結果の系として、 が奇素数の場合、次数 の可解で推移的な群の位数は の約数になる。実際、素数次数の推移的な群はすべて原始的であり（なぜなら、 により固定された分割に含まれる要素数は の約数でなければならないから）、 個の元からなるアフィン空間のアフィン群の位数は だからである。
従って、 が 3 より大きい素数である場合、 次の対称群および交代群は、その位数が よりも大きいため、可解ではない。アーベル-ルフィニの定理は、この結果と、対称群をガロア群としてもつ多項式が存在するという事実から導かれる。
原始性の等価な定義は、群 の全ての推移的作用は、 を の部分群としたとき、剰余類からなる集合 への の標準的作用から得られる作用と同型であるという事実に依存している。群の作用は、 の極大部分群 の剰余類 に同型であるならば原始的であり、そうでない場合（すなわち、 を真部分群として含むような の真部分群 が存在する場合）は非原始的である。これらの非原始的作用はの一例である。
次数の小さい原始群の個数は、ロバート・カーマイケルによる1937年の著作（p.162）によると、以下の通りである。
次数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 OEIS 個数 1 2 2 5 4 7 7 11 9 8 6 9 4 6 22 10 4 8 4 9 4 7 5
次数 16 の原始群は多数ある。これらの群はカーマイケルが注記しているように、対称群と交代群以外は全て、2 個の元からなる有限体上の 4 次元空間に作用するアフィン群である。
例 集合 に作用する対称群 と置換
を考える。 および から生成される群は、いずれも原始的である。 ここで集合 に作用する対称群 と置換
を考えよう。 から生成される群は原始的ではない。なぜなら、分割 （ここで、 とする）は置換 のもとで保存される、すなわち かつ であるからである。 全ての素数位数の推移的群は原始的である。 集合 に作用する対称群 は全ての において原始的であり、集合 に作用する交代群 は、2 より大きい全ての において原始的である。
参照項目
（有限原始群のさまざまなタイプへの分類）
注
注釈
出典
参考文献 Roney-Dougal, Colva M. The primitive permutation groups of degree less than 2500, Journal of Algebra 292 (2005), no. 1, 154–183. The GAP Data Library "Primitive Permutation Groups".