チェビアン

幾何学において、チェビアン（）またはチェバ線とは三角形の頂点とその対辺を結ぶ線分の総称である。中線や角の二等分線などはチェバ線の特別な場合である。チェバ線に関する有名な定理を発表したジョバンニ・チェバに由来する。

辺長右|サムネイル|三角形とそのチェビアン

スチュワートの定理チェビアンの長さはスチュワートの定理を用いて次の式で求めることができる。

中線中線である場合、中線定理を用いることができる。

ただし。

角の二等分線角の二等分線の場合、以下の様に求められる。

ただし、は半周長。

頂垂線頂垂線である場合、次の様に求められる。

比率右|サムネイル|3つのチェビアンが共点図の様に、それぞれの頂点に対するチェビアンが内部の1点で交わっているとき、以下の式が成り立つ。

最初の式はチェバの定理である。

中界線周長を二等分するチェビアンはと呼ばれ、ナーゲル点で交わる。

面積の二等分線面積を二等分するチェビアンは中線であり、重心で交わる。

角の三等分線角の三等分線6本のうち、辺に対して同じ側にあるもの交点は、モーリーの三角形と呼ばれる正三角形を成す。

チェビアンで分割された三角形の面積ラウスの定理によって三角形とチェビアンで作られた三角形との比を決定することができる。

チェバ三角形と点について直線の交点を、直線の交点を,直線の交点をとする。このとき、線分をチェバ族、チェバ単体という。また、をのチェバ三角形（Cevian triangle）という。の重心座標をとし、の重心座標は以下の様に与えられる。

例

重心のチェバ三角形は中点三角形。垂心のチェバ三角形は垂足三角形。

チェバ円チェバ三角形の外接円をチェバ円（Cevian circle）という。

例

重心、垂心のチェバ円は九点円。ジェルゴンヌ点のチェバ円は内接円。

チェバ円共役と点について、のチェバ三角形を、チェバ円をとする。またとの、でない方の交点をそれぞれとする。このとき、3つのチェビアンは一点で交わる。この3つのチェビアンの交点を、チェバ円共役点（Cyclocevian conjugate）という。またチェバ円共役点のチェバ三角形を Cyclocevian triangle という。チェバ円共役が成り立つことはテルケムの定理と呼ばれている。

例

ジェルゴンヌ点は自身とチェバ円共役。重心と垂心はチェバ円共役。

の三線座標を、三角形の辺長をそれぞれとし、チェバ円共役点の三線座標は次の式で与えられる。

反チェバ三角形と点について、以下の3つの条件を満たす三角形に対するのチェバ三角形はである。

の三線座標をとし、の三線座標は以下の様に与えられる。

例

内心の反チェバ三角形は傍心三角形。重心の反チェバ三角形は反中点三角形。類似重心の反チェバ三角形は接線三角形。

チェバ共役と任意の2点について、のチェバ三角形との反チェバ三角形は配景である。この配景の中心をのチェバ共役点（Ceva conjugate）という。

例

ミッテンプンクトと内心は重心チェバ共役。類似重心と外心は重心チェバ共役。

の三線座標を、の三線座標をとすると、のチェバ共役点の三線座標は以下の式で与えられる。

このように3つの三角形について、がの、がのチェビアン三角形になっていることをチェバ線の入れ子（Cevian nest）という。チェバ線の入れ子の2組が配景的であるとき、残り1組も配景的である。

チェバ点と任意の点について、の反チェバ三角形を、の交点をとする。も同様に定義する。とは配景的であり、配景の中心をのチェバ点（Cevapoint）という。このときは、ののチェバ点チェバ共役、はののチェバ点チェバ共役といえる。

の三線座標を、の三線座標をとすると、のチェバ点の三線座標は以下の式で与えられる。

脚注

注釈

出典

参考文献

チェビアン

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