余接定理（よせつていり）The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.は、三角形の辺の長さと3つの角の半分の余接の関係を表す三角法の定理である。余接法則とも呼ばれる。
定理
図のように を3辺の長さ、 を各頂点とし、 を各頂点に対応する角、半周長を を内接円の半径とすると、以下の式が成立する。 (1) また、 について、 (2)
証明
図のように、内接円と辺の接点において三角形の3辺が3組6本の線分に分割され、それぞれの組の線分の長さは等しく、各組から1本ずつ選んだ3線分の長さの和が半周長に等しい。
内接円の半径と辺は垂直に交わるから、余接の定義より、 （*1）
∴ （1）
他の角においても同様に示される。
また、式（2）については、以下の式を適用する。
, , とすると、より、
よって、式（*1）より
辺々にをかけて整理すれば、式（2）が示される。
他の公式の証明 余接定理により正接定理が証明されるほか、以下のように他のいくつかの公式の証明にも適用される。 ヘロンの公式
辺と同様に三角形が3組6個の三角形に分割され、各組の三角形の面積は等しい。例えば、頂点付近の2個の三角形はともに底辺が、高さ、面積はであり、和はとなる（他も同様）。
よって、三角形の面積は、
∴
モルワイデの公式
第一公式
和の公式と余接定理より、
∴ 第二公式
和の公式と余接定理より、
和積公式を適用して整理すれば、
関連項目 正弦定理 余弦定理 三角関数の公式の一覧 脚注
参考文献