ヘルダー平均

ヘルダー平均（ヘルダーへいきん、）、またはべき平均（べきへいきん）、一般化平均（いっぱんかへいきん、）とは、正の数からなるデータに対して決まる数量である。ピタゴラス平均（算術平均、幾何平均、調和平均）などを含む、広義の「平均」である。名称はオットー・ヘルダーに因む。

定義を、有限個の正の実数列とする。ここで順序を考える必要はなく、正の数からなるデータと言うこともできる。

このデータに対して、を 0 でない実数とするとき、指数のヘルダー平均は次で定義される：

のときは、幾何平均（指数が 0 に向かうときの極限）で定義する。

さらに、重み付きヘルダー平均は、の重みを（ただし , ）とすると、次で定義される：

重みの違いを考えない平均は、全ての重みをとしたものに相当する。

特殊な場合 thumb| の場合の図示。とすると、以下となる：いくつかの特別なの値に対しては、名前が付けられている (retrieved 2019-08-17)。最小値：調和平均：幾何平均：算術平均：二乗平均平方根：立方平均：最大値：

{|class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left" ! の証明（幾何平均）

の定義式の対数を取ると、

とすると、最後の辺は、

故に、対数関数の連続性より、

を得るP. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, pp. 175-177。 |} {|class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left" ! およびの証明

（添え字を付け直して）としても一般性を失わない。すると

を得る。については

より導出できる。

性質ヘルダー平均は次の性質をもつ：引数の最小値と最大値の間にある。

引数についての対称式である。つまり引数を並べ替えてもその値を変えない。を次対称群の元とすると、次が成り立つ：

引数に対して斉次である。つまりについて次が成り立つ：

の性質として、データを大きさが均等なものに分割したとき、各ヘルダー平均のヘルダー平均に等しくなる。これにより、必要に応じて分割統治法を使用して平均を計算できる。

異なるヘルダー平均の間の関係一般にならば

であり、等号成立はのとき。これはイェンセンの不等式より、任意の実数に対して

が成り立つためである。

特にの場合を考えると、この不等式は調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 相加平均

を意味する。

応用信号処理ヘルダー平均より非線形移動平均が導かれる。これは小さいの場合には小さい信号値を強調し、大きいの場合は大きい信号値を強調する。移動算術平均の効率的な実装である smooth が使えるならば、次のHaskellコードに従って移動ヘルダー平均を実装できる。 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a] powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p) が大きい場合、整流された信号の包絡線検波が得られる。が小さい場合、マススペクトルのベースライン検出器が得られる。

一般化 f-平均ヘルダー平均はさらにに一般化できる。

この式はとすれば、極限を使うことなく幾何平均も表すことができる。ヘルダー平均はとすることで得られる。

脚注

ヘルダー平均

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