In matematica, l'additività e σ-additività (sigma additività) di una funzione definita su dei sottoinsiemi di un insieme dato sono astrazioni delle proprietà della misura (lunghezza, area, volume) di un insieme: la "misura" dell'unione di due insiemi disgiunti non è altro che la somma delle due misure singole.
Definizioni Sia un'algebra di insiemi. Una funzione (vedi retta reale estesa) è detta (finitamente) additiva se, disgiunti si ha:
La funzione è detta numerabilmente additiva o σ-additiva se per ogni successione tra loro disgiunti e tali che la loro unione numerabile stia ancora in si ha:Se è in particolare una σ-algebra, allora l'ipotesi riguardante l'unione degli è sempre verificata.
Ogni funzione σ-additiva è una funzione (finitamente) additiva, ma non vale il contrario.
Proprietà Come conseguenza della definizione si ha che una funzione additiva non può assumere sia che come valori, perché l'espressione è indefinita. Si può dimostrare per induzione matematica che una funzione additiva soddisfa:
per ogni collezione finita di insiemi disgiunti in .
Utili proprietà di una funzione additiva sono: . Se è non negativa (cioè ) e , allora . Se allora . Dati e , .
Esempi Un esempio di funzione σ-additiva è la funzione definita sull'insieme delle parti dei numeri reali, tale che:
Note
Bibliografia N. Bourbaki, Elements of mathematics. Integration, Addison-Wesley (1975) pp. Chapt.6;7;8 N. Dunford, J.T. Schwartz, Linear operators. General theory, 1, Interscience (1958)
Voci correlate Algebra di insiemi Funzione additiva Funzione subadditiva Misura (matematica) Sigma-algebra
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria della misura