Aksiomi Kolmogorova ili aksiomi vjerojatnosti temelj su suvremene teorije vjerojatnosti koje je uveo čuveni ruski matematičar Andrej Kolmogorov u svojim radovima 1933. godine.
Prvi opis ovih aksioma može se naći u knjizi Opća teorija mjere i teorija vjerojatnosti iz 1929. Četiri godine kasnije, 1933., Kolmogorov je svoje aksiome formalno uveo u djelu Osnove teorije vjerojatnosti.Foundations of the theory of probability
Aksiomi Neka je izmjeriv prostor. Funkcija jest vjerojatnost (na , na ) ako vrijedi:
za svaki događaj (nenegativnost vjerojatnosti), (normiranost vjerojatnosti), i za povlači (σ-aditivnost ili prebrojiva aditivnost vjerojatnosti).
Uređena trojka gdje je σ-algebra na nepraznom skupu i vjerojatnost na , zove se vjerojatnosni prostor. Elemente σ-algebre zovemo događaji, a za broj zovemo vjerojatnost događaja .Nikola Sarapa, Teorija vjerojatnosti, Školska knjiga, Zagreb, 1992.
Posljedice Iz Kolmogorovljevih aksioma slijedi niz korisnih svojstava vjerojatnosti. Dokazi ovih svojstava dobro ilustriraju moć trećega aksioma.
Monotonost vjerojatnosti
Ako je A podskup od B, tada je vjerojatnost od A manja ili jednaka od vjerojatnosti od B.
Dokaz monotonosti vjerojatnosti Neka su i , gdje je i za . Iz svojstava praznoga skupa (), lako se vidi da su u parovima disjunktni i . Dakle, iz trećega aksioma slijedi da je
Po prvome aksiomu, lijeva strana jednakosti je niz nenegativnih realnih brojeva, a kako teži u slijedi i .
Vjerojatnost praznog skupa
Često, nije jedini događaj s vjerojatnošću 0.
Dokaz vjerojatnosti praznog skupa
jer je ,
koristeći treći aksiom na lijevoj strani jednakosti i uzevši u obzir da je disjunktan sa samim sobom dobije se
oduzimanjem od obje strane jednadžbe.
Pravilo komplementa
Dokaz pravila komplementa Kako su i međusobno isključivi i kako je :
(po trećemu aksiomu)
i, (po drugome aksiomu)
pa je konačno .
Izvori
Kategorija:Aksiomi