mini|Aproksimacija eksponencijalne funkcije u ishodištu Taylorovim polinomima n-tog stupnja U matematičkoj analizi Taylorov red ili Taylorov razvoj funkcije u nekoj točki zbroj je beskonačno mnogo n-tih potencija varijable množenih n-tim derivacijama funkcije izvrijednjenim toj točki.
Da bi se definirao Taylorov red funkcije ona mora biti klase na nekom intervalu , što znači da ima n-tu derivaciju za svaki prirodan broj i da su te derivacije neprekidne funkcije na . U točki intervala Taylorov red za funkciju glasi:
Za Taylorov red se naziva Maclaurinov red. Gornji red može divergirati za svako ili konvergirati nekoj drugoj funkciji, pa su za definiciju funkcije potrebna dodatna ispitivanja derivacija .
Uočimo da za alfinu funkciju vrijedi . Time dolazimo na ideju da bi vrijednost neprekidno difernecijabilne funkcije mogli odrediti preko sljedećeg niza aproksimacija:
Gdije je greška i-te aproksimacje koja isčezava kada .
Primjeri Taylorov razvoj izvor je mnogih razvoja funkcija u redove koji se upotrebljavaju za približni izračun ili za definiciju funkcija. Neki od Taylorovih redova za elementarne funkcije jesu:
Taylorov polinom Za približni izračun koristi se Taylorov polinom:
gdje se funkcija
naziva n-ti ostatak funkcije i može se zapisati u Lagrangeovom integralnom obliku:
Kriterij konvergencije
Konvergencija Taylorovog razvoja funkcije zavisi od brzine rasta derivacija u okolini točke . U vezi s tim može se pokazati sljedeći teorem:
Neka je realna funkcija klase definirana na intervalu . Ako postoji prirodan broj i realni pozitivni brojevi takvi da je
za svako iz intervala i za svako , tada Taylorov red konvergira k za svako za koje je
U tom slučaju je .
Izvori
Literatura
Kategorija:Matematička analiza