As funcións hiperbólicas son unhas funcións con definicións baseadas na función exponencial, ligada mediante operacións racionais e son análogas ás funcións trigonométricas.Cálculo de Granville Estas son: dereita|miniatura|300x300px|Curvas das funcións hiperbólicas sinh, cosh e tanh dereita|miniatura|300x300px|Curvas das funcións hiperbólicas csch, sech e coth O seno hiperbólico
O coseno hiperbólico
A tanxente hiperbólica
e outras derivadas:
(cotanxente hiperbólica)
(secante hiperbólica)
(cosecante hiperbólica)
Relación entre funcións hiperbólicas e funcións circulares As funcións trigonométricas e poden ser as coordenadas cartesianas dun punto P sobre a circunferencia unitaria centrada na orixe, onde t é o ángulo, medido en radiáns, comprendido entre o semieixe positivo X, e o segmento OP, segundo as seguintes igualdades:
Tamén pode interpretarse o parámetro t como a lonxitude do arco de circunferencia unitaria comprendido entre o punto e o punto P, ou como o dobre da área do sector circular determinado polo semieixe positivo X, o segmento OP e a circunferencia unitaria. dereita|miniatura|300x300px|Animación da representación do seno hiperbólico. De modo análogo, pódense definir as funcións hiperbólicas, como as coordenadas cartesianas dun punto P da hipérbole equilátera, centrada na orixe, cuxa ecuación é
onde t é o dobre da área da rexión comprendida entre o semieixe positivo X, e o segmento OP e a hipérbole, segundo as seguintes igualdades:
Con todo, tamén pode demostrarse que é válida a seguinte descrición da hipérbole:
dado que
De modo que o coseno hiperbólico e o seno hiperbólico admiten unha representación en termos de funcións exponenciais de variable real:
Relacións trigonométricas con argumentos complexos
As funcións hiperbólicas tamén se poden deducir das función trigonométricas con argumentos complexos:
Seno Hiperbólico: Coseno Hiperbólico: Tanxente Hiperbólica: Cotanxente Hiperbólica: Secante Hiperbólica: Cosecante Hiperbólica: onde é a unidade imaxinaria con .
As definicións anteriores están relacionadas coas definicións exponenciais vía Fórmula de Euler
Relacións Ecuación fundamental
Duplicación do argumento Téñense as seguintes fórmulas moi semellantes ás súas correspondentes trigonométricas
o que leva á seguinte relación:
e por outra banda
que leva a:
tense estoutra relación
que permite ter
Derivación e integración
Ademais a integración ao ser a operación inversa da derivación é trivial neste caso.
A derivada de está dada por e a derivada de é . O gráfico da función denomínase catenaria.
Inversas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas
As funcións inversas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas son:
Series de Taylor As series de Taylor das funcións inversas das funcións hiperbólicas veñen dadas por:
Relación coa función exponencial Da relación do coseno e o seno hiperbólico pódense derivar as seguintes relacións:
e
Estas expresións son análogas ás que están en termos de senos e cosenos, baseadas na fórmula de Euler, como suma de exponenciais complexas.
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Trigonometría Funcións trigonométricas Logaritmo neperiano Número e Hipérbole
hiperbolica