En matemática e en particular na análise, unha ecuación diferencial ordinaria (ou EDO) é unha ecuación que envolve as derivadas dunha función descoñecida dunha variable. Un exemplo simple dunha ecuación diferencial ordinaria é
onde f é unha función descoñecida, e f' a súa derivada.
Definición Sexa y unha función de x e que
denote as súas derivadas .
Unha ecuación diferencial ordinaria (EDO) é unha ecuación que envolve . A orde dunha ecuación diferencial é a orde da maior derivada na ecuación.
Unha solución dunha EDO é unha función y(x) cuxas derivadas satisfán a ecuación. Non está garantido que tal función exista, e no caso de que exista, normalmente non é única.
Sobre a linearidade dunha ecuación diferencial ordinaria de orde n pode ser vista como unha función , e dise que a ecuación diferencial é linear se for linear en .Ecuacións Diferenciais Elementais e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. No que se refire aos coeficientes, unha ecuación diferencial pode ter coeficientes constantes ou funcións da variable independente.
Cando unha ecuación diferencial de orde n ten a forma
denomínase ecuación diferencial implícita, mentres que a forma
denomínase ecuación diferencial explícita.
Unha ecuación diferencial é autónoma se non depende explicitamente de x, e homoxénea se todos os termos da ecuación diferencial dependen exclusivamente de x.
Exemplos prácticos As ecuacións diferenciais empréganse frecuentemente para describir procesos nos que a mudanza dunha medida ou dimensión é causada polo propio proceso.
Historicamente, as primeiras ecuacións diferenciais foron as relativas á aceleración igual ou desigual, que Galileo Galilei puido medir, aínda que con métodos xeométricos.
Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduciron o cálculo diferencial e, este último, as ecuacións diferenciais como as coñecemos hoxe.
Por exemplo na Física, a lei da vida media prevé que o número de átomos que se decompón por unidade de tempo nunha masa de átomos inestables dependen do total N dos átomos existentes (aquí é necesario considerar que, por ser N un número moi grande, pode tomarse a súa variación continua e determinista; no caso de N ser un número pequeno débese considerar a súa variación discreta e estocástica, e o método máis adecuado é outro).
Deste xeito, a diminución do número de átomos é proporcional ao total de átomos:
Polo cálculo da función nesta ecuación diferencial, tórnase posible determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.
Un outro exemplo simple é o oscilador inalterado harmónico coa ecuación diferencial
A función procurada aquí é a función , cuxa segunda derivada en relación ao tempo procede das leis do movemento.
Ecuacións diferenciais específicas
Ecuacións diferenciais lineares Unha EDO é linear cando os termos que envolven a función que se precisa determinar aparecen só de forma linear, ou sexa, pódese escribir a EDO como
Esta ecuación é de grao n cando a función fn(x) non é identicamente nula.
Solución dunha ecuación diferencial ordinaria Unha solución para unha ecuación diferencial é unha función que satisfai a identidade da ecuación. A solución máis xeral posible que admite unha ecuación diferencial denomínase solución xeral mentres que outra solución chámase solución particular.
Exemplo:
Solución particular:
Solución xeral: (C constante)
As solucións clasifícanse en: Solución xeral - presenta n constantes independentes entre si (n=orde da EDO). Esas constantes, segundo a conveniencia, podem ser escritas Solución particular - obtida da xeral, mediante condicións dadas (chamadas condicións iniciais ou condicións de contorno).«Ecuacións Diferenciais».
Métodos para resolución de EDO A habilidade en encontrar solucións exactas en xeral depende da habilidade en recoñecer certos tipos de ecuacións diferenciais e da aplicación dun método específico. Noutras palabras, o que funciona para un tipo de ecuacións diferenciais non necesariamente se aplica a outro tipo.«Ecuacións Diferenciais de Variabades Separabades».
Notas
Véxase tamén Outros artigos Ecuación diferencial Sistemas dinámicos
Ligazóns externas CEFET/RJ materia de E.D.O. EDO
Categoría:Cálculo diferencial