vignette|Des joueurs d’échecs en pleine partie.|alt=Photographie prise au-dessus de deux joueurs devant un échiquier.
Le classement Elo (découlant de la notation ou score Elo) est un système d’évaluation comparatif du niveau relatif de joueurs dans les jeux à somme nulle.
Ce système est notamment utilisé pour les échecs, le go, le football (depuis , mais de manière non officielle), par de nombreux jeux en ligne, pour la comparaison de chatbots, en études comportementales, etc. Tout joueur qui participe à ce type de compétition se voit attribuer un classement provisoireS'il s'est enregistré sous pseudonyme, et non comme invité, pour les jeux en ligne., qui évolue en fonction de ses performances, et qui reflète sa probabilité de gagner.
Bien que le terme Elo se trouve parfois écrit en majuscules (« ELO »), il ne s’agit pas d’un acronyme car celui-ci doit son nom à son inventeur, Arpad Elo, un professeur de physique et joueur d’échecs américain d’origine hongroise.
Principe Le classement Elo attribue au joueur, suivant ses performances passées, un nombre de points () tel que deux joueurs supposés de même force aient le même nombre de points. Plus le joueur est performant et plus son nombre de points Elo est élevé. Si un joueur réalise une performance supérieure à son niveau estimé, il gagne des points Elo. Réciproquement, il en perd s'il réalise une contre-performance. L'ordre chronologique des classements est important : supposons un joueur ayant un classement Elo initial (R pour rating) au moment . S'il perd par exemple Elo lors de la période , sa performance attendue pour la période suivante est elle-même abaissée de , ce qui fait qu'avec une performance en conforme à son niveau initial de , il pourrait gagner lors de cette période (par exemple) Elo, l'amenant ainsi au-dessus de son niveau initial .
Par ailleurs, une même différence de points entre deux joueurs implique la même espérance de gain. Par exemple un joueur classé Elo a autant de chance de battre un joueur classé Elo, qu'un joueur classé Elo a de chance de battre un joueur classé Elo.
Historique
La Fédération américaine des échecs (USCF), a utilisé le système d’Arpad Elo dès 1960. Il fut ensuite adopté par la Fédération internationale des échecs (FIDE) en 1970. Arpad Elo a décrit son travail en détail dans son livre , publié en 1978.
En étudiant la force des joueurs en se fondant sur leurs résultats, Arpad Elo a déduit que leur force pouvait se mesurer par un classement en points distribué selon une loi normale de répartition.
Des tests statistiques ultérieurs ont montré que la force échiquéenne n’est pas tout à fait distribuée selon une loi normale. Aussi, l’USCF et la FIDE ont fait évoluer la formule de calcul vers une loi logistique. Cependant, le classement international continue d’être appelé « classement Elo » en mémoire de la contribution du professeur Elo.
Théorie mathématique
Force relative de deux joueurs Le classement Elo est fondé sur la notion de force relative de deux joueurs. Soit la probabilité de gagner d’un joueur A contre un joueur B :
Le rapport entre la probabilité de gagner du joueur A et la probabilité de perdre de ce même joueur A (cette dernière étant aussi la probabilité de gagner de son adversaire B) exprime la force relative de A contre B.
Littéralement, si la force relative du joueur A par rapport au joueur B vaut , A a statistiquement fois plus de chances de gagner que de perdre face à B. La force relative entre deux joueurs peut être déterminée précisément si ceux-ci ont disputé entre eux un nombre significatif de parties.
Exemple
Du point de vue du joueur A : Si (c'est-à-dire 60 % de chance que A batte B), alors et A a une fois et demie plus de chance de gagner que de perdre face à B.
Du point de vue du joueur B, donc et B a (environ) fois plus de chance de gagner que de perdre face à A.
Probabilité de gain Connaissant la probabilité de gain d’un joueur A contre un joueur B ainsi que la probabilité de gain du joueur B contre un joueur C, quelle est la probabilité de gain du joueur A contre le joueur C ?
On note : la probabilité de gain de A contre B
la probabilité de gain de B contre C
la probabilité de gain de A contre C Une hypothèse supplémentaire est faite : la force de A contre C est égale au produit des forces intermédiaires, celle de A contre B par celle de B contre C :
D'après le paragraphe précédent, la force de A contre C est telle que , dont on déduit la probabilité de gain de A contre C :
Exemple Si alors et A a trois fois plus de chance de gagner que de perdre contre B. Si alors et B a deux fois plus de chance de gagner que de perdre contre C. Par conséquent et A a six fois plus de chance de gagner que de perdre contre C. La probabilité de gain de A contre C vaut donc , soit 85,7 % de chances que A batte C.
Recherche d'un classement L’idée du classement Elo est de convertir à l’aide d’une fonction, la probabilité de gain d’un joueur contre un autre en une valeur qui représente l'écart de niveau entre les deux joueurs. Grâce à cette valeur (classement Elo) il devient possible de classer l'ensemble des joueurs, y compris ceux qui ne se sont pas rencontrés.
Table de conversion entre probabilité de gain et écart entre classements Elo La table de conversionEurope Échecs de décembre 2000, . suivante est la fonction utilisée dans le classement Elo, qui prend en entrée la probabilité de gain de A contre C, et renvoie en sortie un nombre, l'écart de classement Elo entre ces deux joueurs.
P (A/C) D(p) P (A/C) D(p) P (A/C) D(p) P (A/C) D(p) P (A/C) D(p) 99 % 677 79 % 230 59 % 65 39 % -80 19 % -251 98 % 589 78 % 220 58 % 57 38 % -87 18 % -262 97 % 538 77 % 211 57 % 50 37 % -95 17 % -273 96 % 501 76 % 202 56 % 43 36 % -102 16 % -284 95 % 470 75 % 193 55 % 36 35 % -110 15 % -296 94 % 444 74 % 184 54 % 29 34 % -117 14 % -309 93 % 422 73 % 175 53 % 21 33 % -125 13 % -322 92 % 401 72 % 166 52 % 14 32 % -133 12 % -336 91 % 383 71 % 158 51 % 7 31 % -141 11 % -351 90 % 366 70 % 149 50 % 0 30 % -149 10 % -366 89 % 351 69 % 141 49 % -7 29 % -158 9 % -383 88 % 336 68 % 133 48 % -14 28 % -166 8 % -401 87 % 322 67 % 125 47 % -21 27 % -175 7 % -422 86 % 309 66 % 117 46 % -29 26 % -184 6 % -444 85 % 296 65 % 110 45 % -36 25 % -193 5 % -470 84 % 284 64 % 102 44 % -43 24 % -202 4 % -501 83 % 273 63 % 95 43 % -50 23 % -211 3 % -538 82 % 262 62 % 87 42 % -57 22 % -220 2 % -589 81 % 251 61 % 80 41 % -65 21 % -230 1 % -677 80 % 240 60 % 72 40 % -72 20 % -240
En ce qui concerne le jeu d'échecs, la FIDE a instauré la règle suivante : un écart de classement de plus de sera comptabilisé comme s'il s'agissait d'un écart de pour les besoins du classement.
Relation entre force relative des joueurs et différence de points Elo
Pour obtenir un classement Elo, nous cherchons une fonction telle que la différence de points Elo entre les joueurs A et C soit égale à la somme des différences de points Elo entre A et B d’une part et entre B et C d’autre part, ce qui n’est pas le cas avec le produit des forces.
Nous devons remplacer par :
Posons où est la fonction que l'on cherche.
Or : , donc .
Cette transformation par la fonction d’un produit en somme est la définition d'une fonction logarithme.
On choisit le logarithme décimal, noté , et pour étendre la plage des valeurs on introduit le facteur multiplicatif 400.
thumb|D(p) D'où la formule de Elo :
Exemple
Avec et , les forces sont , , et .
, ,
.
On vérifie que l'on a bien thumb|p(D)
Relation entre différence de points Elo et probabilité de gain La fonction réciproque donne la probabilité de gain en fonction de la différence de points Elo :
Mode de calcul Application pratique Aux échecs, la fonction est utilisée pour calculer le nouvel Elo en fonction de l'ancien :
est le résultat attendu (fonction de la différence de Elo avec l'adversaire), donné par la formule ci-dessus.
est le résultat de la partie : 1 pour une victoire, 0,5 pour un nul et 0 pour une défaite.
est l’écart entre le résultat de la partie et le résultat attendu. Si le résultat de la partie est égal au résultat attendu, , le classement Elo ne change pas.
Le coefficient est appelé coefficient de développement. Il vaut 40 pour les 30 premières parties, 20 tant que le joueur est en dessous de Elo, 10 s'il est au-dessus.
Exemple Un joueur classé 1800 Elo joue contre un joueur classé Elo, soit une différence . Il a une probabilité de gain , tandis que son adversaire a une probabilité de gain complémentaire . En faisant match nul (), avec nous avons le nouveau classement pour le joueur classé Elo :
Le joueur classé Elo perdra de son côté , le calcul étant parfaitement symétrique, en effet pour lui nous avons :
Si au contraire le joueur classé Elo gagne (W=1 pour lui, et W=0 pour son adversaire), cela donne un nouveau classement pour le joueur classé Elo :
Le joueur classé Elo perdra de son côté :
En pratique la FIDE limite ces calculs en plafonnant à . S’il y a plus de d’écart, donc plus de 91 % de chances de gain théoriquesLa fonction réciproque p(D) donnant la probabilité de gain en fonction de la différence Elo D étant égale à :
, si D est supérieur à , alors est inférieur à 0,1 et p (D) est supérieur à 91%. C'est si D est égal à que p(D) est supérieur à 99%(ne pas confondre médiane de l'écart et écart maximum)., la différence est ramenée à . Cette limite est supprimée fin pour les joueurs classés au-delà de 2650 (équivalent au top 100 mondial) pour éviter que ces joueurs gagnent des points trop facilement contre des joueurs amateurs.
Le coefficient K thumb|upright=1.2|Nombre de GMI par tranche de Elo (juillet 2009).
Du coefficient de développement K dépend la volatilité du classement. Plus K est élevé, plus les changements dans le classement seront importants, cela permet aux nouveaux joueurs entrants dans le classement de progresser rapidement vers leur niveau réel. Les joueurs anciens dans le classement ont un facteur K moins élevé et les joueurs qui ont atteint un classement Elo supérieur à ont leur facteur K au minimum, même si leur classement redescend en dessous de Un arbitre fédéral a affirmé dans l'Europe Échecs de novembre (page 45) que le coefficient K reste en permanence à son seuil minimum lorsque le classement du joueur atteint points car, selon les , la différence entre les moins de et les plus de (niveau requis pour, en réalisant trois normes, obtenir le titre de Maître international) . Ce coefficient est de pour les nouveaux joueurs jusqu'à leur trentième partie, puis 20 tant que leur classement reste inférieur à , et enfin 10 pour les joueurs ayant atteint Elo.. À noter que K vaut 40 pour tout joueur jusqu’à son anniversaire, tant que son classement reste en dessous de .
À l’initialisation du processus en 1970, il fut décidé que tous les grands maîtres internationaux du monde avaient un classement de Elo. C’est à partir de cette base initiale de joueurs que le classement fut progressivement calculé pour tous les autres joueurs.