En thermodynamique, un processus polytropique est une transformation réversible impliquant un transfert thermique (échange de chaleur) partiel entre le système étudié et son extérieur.
La loi polytropique peut représenter diverses conditions de transformation. La loi de Laplace en est le cas particulier applicable aux transformations isentropiques (à entropie constante, c'est-à-dire adiabatiques, à échange de chaleur nul). Elle couvre également les transformations isobares (à pression constante), isothermes (à température constante) et isochores (à volume constant) ; elle revient alors aux diverses lois qui composent la loi des gaz parfaits.
La loi polytropique n'est en théorie applicable qu'aux gaz parfaits, sous l'hypothèse que leurs capacités thermiques sont constantes et en l'absence de réaction chimique. Elle offre cependant un modèle idéal de référence pour l'étude de procédés réels. Elle est utilisée dans l'étude des explosions. Elle sert dans l'établissement du rendement des compresseurs et des turbines. En astrophysique, un polytrope est une forme de matière dont l'équation d'état s'écrit sous la forme d'une loi polytropique.
Énoncé La loi polytropique
Au cours d'une transformation quelconque réversible d'un gaz parfait, on a la relation suivante.. :
Transformation polytropique :
que l'on peut aussi exprimer sous les formes :
avec : l'indice (ou coefficient, ou exposant) polytropiqueDans la littérature anglo-saxonne, l'indice polytropique est souvent noté ou , et l'indice adiabatique . (en astrophysique, l'indice polytropique est le nombre tel que ) ; la pression ; le volume ; la température.
La constante de la loi polytropique (différente d'une forme à l'autre) ne dépend que des conditions initiales de pression, température et volume de la transformation. Cette constante est positive quelle que soit la forme de la loi.
Les lois polytropiques ne sont valables que : pour un système fermé ; lors d'une transformation réversible ; en l'absence de réaction chimique ; pour un gaz parfait ; si ne dépend pas de la température.
L'indice polytropique vignette|300px|Transformations polytropiques dans un diagramme de Clapeyron.Le point fixe a pour coordonnées et .
L'indice polytropique correspond aux transformations réversibles suivantes.. : , le volume et la pression augmentent simultanément (explosion) ; , processus isobare (à pression constante) ; , processus isotherme (à température constante) ; , compression avec refroidissement ou détente avec réchauffement ; , processus isentropique (à entropie du système constante) ou adiabatique (à transfert thermique nul)Un processus polytropique étant réversible () par définition, il y a équivalence entre les termes isentropique () et adiabatique (). Ces deux termes ne sont pas équivalents pour un processus irréversible (). ; , compression avec réchauffement ou détente avec refroidissement ; , processus isochore (à volume constant).
est l'indice adiabatique, ou coefficient de Laplace, rapport des capacité thermique isobare et capacité thermique isochore .
L'indice polytropique s'écrit de façon générale selon :
avec : la variable laissée constante dans la transformation polytropique ; le coefficient de compressibilité isotherme ; le coefficient de compressibilité polytropique.
Dans un diagramme de Clapeyron, le coefficient polytropique en un point donné peut donc se calculer selon. :
et en particulier, pour , l'entropie :
Démonstration Démonstration de la loi Hypothèses
Par hypothèse, la transformation est effectuée : dans un système fermé (qui n'échange pas de matière avec l'extérieur) ; de façon réversible, soit ; avec l'entropie ; sur un gaz parfait, en l'absence de changement d'état ; à quantité de matière constante, en l'absence de réaction chimique ; à une condition constante (pression, température, volume, entropie…) ; à indice polytropique constant.
Cas général
Par définition des coefficients calorimétriques, on a les relations générales sur la chaleur échangée lors d'une transformation quelconque réversible. :
Transformation quelconque - relation générale
avec : la capacité thermique isobare ; la capacité thermique isochore ; le coefficient de compression isotherme ; le coefficient de dilatation isotherme.
Les relations de Maxwell donnent les première et deuxième relations de Clapeyron :
De façon plus générale, pour toute variable , l'échange de chaleur avec l'extérieur, à quantité de matière constante, peut s'écrire selon :
avec la capacité thermique polytropique :
Capacité thermique polytropique
Dans le cas d'une transformation polytropique, à constante, l'échange de chaleur vaut. :
Par soustraction de cette expression aux précédentes expressions de , on obtient :
Transformation polytropique - relation générale
La variation de température vaut :
d'où :
L'indice polytropique est défini par.. :
Indice polytropique
On réécrit :
Par ailleurs, on définit le coefficient de compressibilité isotherme :
Coefficient de compressibilité isotherme
La relation :
permet de réécrire :
Finalement, puisque la transformation est effectuée à constante, on obtient. :
On définit le coefficient de compressibilité polytropique :
Coefficient de compressibilité polytropique
ce qui donne :
Cette relation est une généralisation de la relation de Reech (avec l'entropie, on a et ).
Cas des gaz parfaits
L'équation des gaz parfaits, , induit :
On obtient donc, pour les gaz parfaits uniquement :
Transformation quelconque - gaz parfaits
et pour une transformation polytropique :
Transformation polytropique - gaz parfaits
d'où finalement :
On considère que lors de la transformation est constant (en toute rigueur, pour un gaz parfait, il dépend de la température). On intègre entre un état initial et un état final , on obtient :
et donc la loi polytropique :
Loi polytropique :
Avec, selon l'équation d'état des gaz parfaits :
par substitutions, on obtient également :
Les processus Coefficient polytropique négatif
Le cas concerne des phénomènes dans lesquels une augmentation de pression coïncide avec une augmentation de volume. On a :
Le deuxième principe de la thermodynamique induit qu'un coefficient de compressibilité , quelle que soit , ne peut être que positif pour un corps stable : le volume ne peut que diminuer sous une augmentation de pression. La relation induit que ne peut pas être négatif pour un corps stable. Le cas représente donc un état instable de la matière. Ce cas implique d'autres phénomènes que la seule force de pression, par exemple une réaction exothermique qui génère de la chaleur au cours de la transformation.
Si , la définition donne (la relation de Mayer implique que ).
Ce cas est employé dans l'étude des réactions explosives, par exemple dans l'étude des moteurs à explosion... ou en astrophysique dans la modélisation du comportement explosif des plasmas..
Processus isobare
Si , la pression, le processus est isobare.
La définition donne . On a donc par la relation :
Processus isobare :
On vérifie par la définition que , la capacité thermique isobare.
La loi polytropique donne la loi de Charles :
Loi de Charles : à pression constante.
La loi des gaz parfaits donne .
Processus isotherme
Si , la température, le processus est isotherme.
La définition donne , le coefficient de compressibilité isotherme. On a donc par la relation :
Processus isotherme :
On a par la définition : .
La loi polytropique donne la loi de Boyle-Mariotte :
Loi de Boyle-Mariotte : à température constante.
La loi des gaz parfaits donne .
Processus isentropique
Si , l'entropie, le processus est isentropique (adiabatique réversible).
La définition donne , le coefficient de compressibilité isentropique. La relation de Reech donne, de façon générale :
avec l'indice adiabatique. On a donc par la relation :
Processus isentropique (adiabatique) :
On a par la définition : .
La loi polytropique donne la loi de Laplace :
Loi de Laplace : à entropie constante.
Processus isochore
Si , le volume, le processus est isochore.
La définition donne . On a donc par la relation :
Processus isochore :
On vérifie par la définition que , la capacité thermique isochore.
La loi polytropique donne la loi de Gay-Lussac :
Loi de Gay-Lussac : à volume constant.
La loi des gaz parfaits donne .
Compression et détente
Les formules du travail et de la chaleur établies dans la section Bilan énergétique montrent que, quel que soit , on a, pour un gaz parfait :
avec : le travail des forces de pression ; la chaleur échangée.
L'indice adiabatique est nécessairement supérieur à 1 (voir l'article Relation de Mayer).
Lors d'une compression, soit : si , alors , le système perd de la chaleur ; si , alors , le système gagne de la chaleur.
Lors d'une détente, soit : si , alors , le système gagne de la chaleur ; si , alors , le système perd de la chaleur.
Bilan énergétique Coefficients calorimétriques et thermoélastiques Capacités thermiques
La définition de la capacité thermique polytropique et la définition de l'indice donnent de façon générale. :
Puisque la capacité thermique est positive et que la relation de Mayer induit que , alors si . Autrement, . En particulier : si , le processus est isobare, , la capacité thermique isobare ; si , le processus est isotherme, ; si , le processus est isentropique, ; si , le processus est isochore, , la capacité thermique isochore.
L'indice adiabatique est défini par :
La relation de Mayer donne, pour les gaz parfaits :
avec : la quantité de matière ; la constante universelle des gaz parfaits.
De ces relations on tire, pour les gaz parfaits :
Autres coefficients
Un gaz parfait répond aux relations :
ou
La variation de la pression en fonction du volume vaut :
Le coefficient de compressibilité polytropique vaut :
La variation de la température en fonction du volume vaut :
La variation de l'entropie en fonction du volume vaut :
Le tableau suivant donne l'évolution des dérivées précédentes en fonction de l'indice polytropique.
+ Processus polytropiques. Indice polytropique
Explosion
Explosion modérée
Sous-adiabatique
Sur-adiabatique
isochore
isentropique
isochore
isotherme
isobare
Entropie et énergie
Soit la transformation d'une quantité d'un gaz parfait entre un état initial et un état final . La loi des gaz parfaits donne :
et la loi polytropique :
Entropie
On introduit la capacité thermique polytropique dans l'échange de chaleur d'un gaz parfait :
La loi des gaz parfaits donne, à quantité de matière constante :
d'où :
L'échange de chaleur s'écrit finalement :
Entropie
Donc si et seulement si est constant, d'où la loi polytropique. De plus, puisque par définition :
on a :
Ainsi, est une fonction de la seule variable , et est constante si et seulement si est constant.
En particulier, si , alors , d'où :
On en déduit que , d'où et finalement :
On retrouve la loi de Laplace : est constante si et seulement si est constant.
Travail
Le travail produit par les forces de pression vaut :
Si la transformation est isotherme, la température est constante, . L'équation des gaz parfaits donne et :
d'où. :
Travail isotherme
Quel que soit , la loi polytropique donne et par conséquent :
d'où. :
Travail polytropique
Si la transformation est isobare, la pression est constante, , d'où :
Travail isobare
Si la transformation est isentropique (adiabatique réversible), le système n'échange pas de chaleur avec l'extérieur, d'où :
Travail isentropique
Si la transformation est isochore, le volume est constant, , d'où :
Travail isochore
Chaleur
Si la transformation est isotherme, la température est constante, . L'équation des gaz parfaits donne . La chaleur produite par la transformation vaut, selon la relation , puisque :
d'où :
Chaleur isotherme