En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynomiale ; d'un reste négligeable au voisinage du point considéré.

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine.

En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes. Ils permettent également l'obtention d'équivalents.

Définitions

Soit une fonction à valeurs réellesLa notion de développement limité peut se généraliser au cas où la fonction est à valeurs complexes ou vectorielles, mais ce cas n'est pas abordé dans cet article ; pour d'autres généralisations, voir l'article développement asymptotique. définie sur un intervalle , et . On dit que admet un développement limité d'ordre n, définition IV.7.2 ; le polynôme lui-même (qui est unique s'il existe) est appelé par eux développé limité de , et noté ou, si la précision est nécessaire, . (abrégé par DL) en , s'il existe réels tels que la fonction définie par :

vérifie : tend vers lorsque tend vers , et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que :

Les fonctions vérifiant ceci sont notées (voir l'article « Comparaison asymptotique », et plus précisément la famille des notations de Landau). On écrit donc :

Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant :

Conséquences immédiates Si admet un DL en , alors . Si admet un DL en , alors elle admet un DL en pour tout entier k < n. Une condition nécessaire et suffisante pour que admette un DL en est l'existence d'un polynôme tel que . S'il existe un tel polynôme , alors il en existe une infinité d'autres, mais un seul d'entre eux est de degré inférieur ou égal à : le reste de la division euclidienne de par . On l'appelle la partie régulière, ou partie principale, du DL de en . On identifie parfois, par abus de langage, le DLn avec sa partie régulière.

Opérations sur les développements limités Somme Si f et g admettent deux DLn en , alors f + g admet un DLn en , dont la partie régulière s'obtient en sommant les deux parties régulières des DLn de f et g.

Multiplication par un scalaire Si f admet un DLn en , alors λf admet un DLn en , dont la partie régulière s'obtient en multipliant la partie régulière du DLn de f par λ.

Produit Si f et g admettent deux DLn en , de parties régulières respectives P et Q, alors fg et PQ admettent un DL en , de même partie régulière. Si = 0, cette partie régulière est le reste de la division euclidienne de PQ par Xn+1.

Inverse Si u() = 0 et si u admet un DLn en , alors admet un DLn. La partie régulière de ce développement limité est celle du DLn de en .

Quotient On peut combiner le produit et l'inverse, ou faire une division suivant les puissances croissantes de la partie régulière du numérateur par celle du dénominateur.

Composition Si u admet un DLn en de partie régulière P et si v admet un DLn en u() de partie régulière Q, alors v ∘ u et Q ∘ P possèdent un DLn en , de même partie régulière.

C'est une application de la règle de L'Hôpital. Si f admet un DLn en , , alors toute primitive F de f admet un DLn + 1 en qui est

Dérivation Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un DLn en pour la dérivée d'une fonction admettant un DLn + 1 en . Par exemple, en , la fonction x ↦ xsin(1/x) – prolongée par – admet un DL (il s'agit de ) mais sa dérivée n'admet pas de DL. Par contre, comme déjà dit, si admet un DLn en , alors la partie régulière de ce DL est la dérivée de la partie régulière du DLn + 1 de F en .

Développement limité et fonctions dérivables

Le théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction dérivable fois au point (avec ) admet un DLn en ce point :

soit en écriture abrégée

On le démontre par récurrence sur n, grâce au théorème ci-dessus d' terme à terme d'un DL.

L'existence d'un DL0 en équivaut à la continuité en , et l'existence d'un DL1 en équivaut à la dérivabilité en . En revanche, pour , l'existence d'un DLn en n'implique pas que la fonction soit fois dérivable en (par exemple — prolongée par continuité en — admet, en , un DL mais pas de dérivée seconde).

Quelques utilisations

Le développement d'ordre en revient à écrire que est continue en :

Le développement limité d'ordre en revient à approcher une courbe par sa tangente en ; on parle aussi d'approximation affine :

Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en .

Le développement limité d'ordre en revient à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique, en . Il permet de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente au voisinage de , pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul : le signe de ce coefficient donne en effet cette position (voir également l'article fonction convexe).

Le changement de variable permet, à l'aide d'un DL0 en , de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un DL1 en , de déterminer l'équation d'une asymptote (comme pour la tangente, le DL2 permet de préciser la position de la courbe par rapport à l'asymptote).

En faisant une approximation polynomiale de fonction en , il devient possible, pour un calcul de limite en , de lever une Forme indéterminée.

Quelques exemples

Les fonctions suivantes possèdent des DLn en pour tout entier n. (la première égalité se déduit du terme général de la série géométrique). par intégration de la formule précédente pour n = m – 1, changement de x en –x et changement d'indice k = i + 1 (en utilisant la formule de Taylor) à l'ordre 2n + 2. La partie principale du DL à l'ordre 2n + 1 est la même car le terme en est nul (comme tous les termes d'exposant pair) et . à l'ordre 2n + 1. La partie principale du DL à l'ordre 2n est la même, car le terme en est nul (comme tous les termes d'exposant impair) et .

Ces exemples sont en outre développables en séries entières.

Formulaire

Plusieurs fonctions usuelles admettent un développement limité en , qui peuvent être utilisés pour développer des fonctions spéciales :

, où les sont les nombres de Bernoulli.

Approximations affines : développements limités d'ordre 1

On utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1 (encore appelés , ou ), qui permettent de faciliter les calculs, lorsqu'on n'exige pas une trop grande précision ; ils sont donnés, au point , par :

(on retrouve l'équation de la tangente au graphe de ).

En particulier, on a, au point : et donc et

Développements usuels en de fonctions trigonométriques À l'ordre 2 : , , , ,

Notes et références

Articles connexes Série de Taylor Interpolation polynomiale Développement asymptotique

Catégorie:Analyse réelle