vignette|Illustration de la méthode de Laplace : en noir, la fonction f(x), et en rouge, avec M = 3 : on remarque que seule l’aire sous la courbe à intégrer près du maximum de f (pointillés) est significative.
En mathématiques, la méthode de Laplace, due à Pierre-Simon de Laplace, est une méthode pour l'évaluation numérique d'intégrales de la forme :
où est une fonction deux fois dérivable, est un grand nombre réel et les bornes et peuvent éventuellement être infinies.
Principe de la méthode
Pour M > 0, si l’on suppose que la fonction f admet un unique maximum au point alors pour M grand, seuls les points au voisinage de contribuent de façon significative à l’intégrale :
Si M est négatif, en considérant −M et −f on peut se ramener à considérer les maximums de −f donc les minimums de f.
Méthode de Laplace, cas général
Pour appliquer la méthode de Laplace, un certain nombre de conditions sont requises. Le point ne doit pas être l'une des bornes de l'intégrale et ne peut s'approcher de la valeur qu'au voisinage de .
Par application du théorème de Taylor, au voisinage de , s'écrit : .
Puisque admet un maximum en , qui n'est pas l'une des bornes de l'intégrale, et , on a alors dans un voisinage de :
Et pour l'intégrale :
La deuxième intégrale peut être estimée à l'aide d'une intégrale de Gauss en remplaçant les bornes et par et et l'on a alors :
Le remplacement des bornes par et est numériquement valide car, quel que soit est un
Les deux conditions demandées pour effectuer cette méthode ne sont pas nécessairement requises et il existe des généralisations pour le cas où est l'une des bornes en utilisant un développement au premier ordre autour de ainsi que par découpage d'intégrale pour le cas où deux, ou un nombre fini, de maximums locaux de auraient des valeurs proches. La méthode du point col permet également une généralisation pour
Exemple : formule de Stirling
La méthode de Laplace peut être employée pour démontrer la formule de Stirling :
Pour grand :
Par définition de la fonction gamma, on a
Avec le changement de variable on obtient :
En considérant la fonction , qui est deux fois dérivable :
on voit que atteint son maximum en et sa dérivée seconde vaut –1 en 1 ; on a alors avec la méthode de Laplace :
Notes et références
Voir aussi Bibliographie J. Dieudonné, Calcul infinitésimal , chap. IV, §2 P. Deift, X. Zhou, A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation, Ann. of Math. (2), v.137 (1993), no. 2, 295–368 A. Erdelyi, Asymptotic Expansions, Dover, 1956
Articles connexes Méthode de la phase stationnaire Méthode du point col
Catégorie:Intégration numérique Catégorie:Pierre-Simon de Laplace