Dans un groupe G, un sous-groupe H est dit caractéristique lorsqu'il est stable par tout automorphisme de G : strictement caractéristique dans . lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme surjectif de G ; pleinement caractéristique, ou encore pleinement invariantPleinement invariant dans J. Delcourt, Théorie des groupes, Paris, Dunod, 2001, p. 21., lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme de G :
Propriétés
Un sous-groupe H de G est sous-groupe caractéristique de G si et seulement si Un sous-groupe caractéristique de G est en particulier stable par tout automorphisme intérieur de G : c'est donc un sous-groupe distingué de G. Tout sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe caractéristique d'un groupe G est sous-groupe caractéristique de G. Tout sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal d'un groupe G est sous-groupe normal de G.
Exemples
Le sous-groupe dérivé D(G) d'un groupe G est un sous-groupe (pleinement) caractéristique de G. Le centre d'un groupe G est un sous-groupe strictement caractéristique de G., mais pas toujours pleinement, exerc. 1.5.9.. Généralement un sous-groupe défini par une expression qui ne mentionne aucun élément particulier (autre que l'élément neutre) est caractéristique, car le sens d'une telle expression ne change pas sous un automorphisme quelconque. Ainsi sont caractéristiques : le sous-groupe dérivé, qui est engendré par , le centre, qui est égal à , le sous-groupe engendré par les éléments d'ordre deux (ou d'un autre ordre donné), le sous-groupe engendré par , etc. Tout sous-groupe de Sylow sous-normal est pleinement caractéristique.
Histoire L'expression « sous-groupe caractéristique » (« charakteristische Untergruppe ») a été introduite en 1895 par G. Frobenius G. Frobenius, « Über endliche Gruppen », Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, janvier à mai 1895, p. 183, consultable sur le site Internet Archive. (Référence à Frobenius donnée par W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, éd., 1911, réimpr. Dover, 2004, p. 92.).
Notes et références Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 158.
Voir aussi
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