L'état d'un système physique décrit tous les aspects de ce système, dans le but de prévoir les résultats des expériences que l'on peut réaliser. Le fait que la mécanique quantique soit non déterministe entraîne une différence fondamentale par rapport à la description faite en mécanique classique : alors qu'en physique classique, l'état du système détermine de manière absolue les résultats de mesure des grandeurs physiques, une telle chose est impossible en physique quantique et la connaissance de l'état permet seulement de prévoir, de façon toutefois parfaitement reproductible, les probabilités respectives des différents résultats qui peuvent être obtenus à la suite de la réduction du paquet d'onde lors de la mesure d'un système quantique. Pour cette raison, on a coutume de dire qu'un système quantique peut être dans plusieurs états à la fois. Il faut en réalité comprendre que le système est dans un état quantique unique, mais que les mesures peuvent donner plusieurs résultats différents, chaque résultat étant associé à sa probabilité d'apparaître lors de la mesure.
L'état doit donc être vu comme représentant toute l'information disponible sur le système : une description de l'histoire du système permettant de calculer les probabilités de mesure. Dans le débat philosophique concernant l'interprétation de la mécanique quantique, certaines approches telles que l'interprétation de Copenhague considèrent d'ailleurs que l'état quantique n'est pas un élément de réalité au sens qu'Einstein donnait à ce terme, mais simplement un intermédiaire de calcul utile pour prévoir les mesures ; d'autres approches font appel à la notion de décohérence quantique pour décrire le processus mis en œuvre lors d'une mesure quantique.
L'une des conséquences de la nature aléatoire des mesures quantiques est que l'état ne peut être assimilé à un ensemble de propriétés physiques qui évoluent au cours du temps. En mécanique quantique, l'état et les grandeurs physiques sont deux concepts séparés et sont représentés par deux objets mathématiques différents. Dirac a montré qu'il était équivalent de faire porter l'évolution temporelle sur l'état quantique ou sur les grandeurs physiques, appelées observables en mécanique quantique.
La notion d'état en mécanique classique En mécanique classique, l'état d'un système est représenté par un ensemble de grandeurs physiques à partir duquel on peut déterminer toutes les propriétés du système concerné. Par exemple dans le cas d'un point matériel, l'état est complètement décrit par la donnée du vecteur position et de la quantité de mouvement . Autrement dit, l'état du système est repéré par un point dans l'espace des phases, qui est de dimension 6 pour un point matériel. Une fois l'état du système déterminé par la mesure, on peut d'une part calculer toutes les grandeurs mesurables sur le système comme l'énergie cinétique et potentielle, mais également calculer l'état du système à un instant ultérieur grâce à l'équation fondamentale de la dynamique.
L'espace des états dépend du système considéré : si l'on considère non plus un mais N points matériels, l'état du système sera repéré par un point dans un espace vectoriel de dimension 6N, car il faut garder la trace de la position et de l'impulsion de chacun des N points matériels ; dans le cas d'un milieu continu, comme un fluide ou un solide déformable, ou encore dans le cas du champ électromagnétique, l'état du système est décrit par des champs formant un espace vectoriel de dimension infinie : potentiel scalaire et potentiel vecteur, champ de déformation, de densité massique, de vecteurs vitesse, … Là encore, d'autres grandeurs physiques mesurables peuvent être dérivées (champ de pression, forces exercées sur un objet), et l'état du système à l'instant peut se déduire de l'état du système à l'instant à partir de lois dynamiques (Équations de Navier-Stokes, Équations de Maxwell). De manière générale, lorsque le système obéit à la mécanique lagrangienne, son état peut être décrit à l'aide des coordonnées généralisées.
Le déterminisme de l'évolution des états en mécanique classique est décrit de manière particulièrement claire par Laplace :
En mécanique statistique, l'état est décrit différemment : comme une distribution de probabilité sur l'espace des états. Il est toutefois compris que cette description n'est qu'une approximation liée à notre incapacité de mesurer parfaitement l'état d'un système contenant un grand nombre de degrés de liberté.
La notion d'état en mécanique quantique – état et mesure En mécanique quantique, il n'est pas possible de supposer que les grandeurs physiques telles que la position ou la vitesse aient une valeur définie que l'on puisse mesurer sans perturber le système. Au lieu de cela, les observations effectuées sur un système vont modifier son état, de sorte que les résultats des mesures ultérieures vont dépendre de l'ensemble des mesures effectuées précédemment. L'état du système doit donc être défini indépendamment des grandeurs physiques observables et plutôt être vu comme une description de ce qui a été fait sur le système ainsi que des résultats obtenus lors des mesures. Pauli qualifiait le point de vue selon lequel l'état se résume à une liste de grandeurs physiques préexistant à la mesure. Mathématiquement, cette distinction se traduit par l'utilisation de deux objets différents pour représenter l'état et les observables du système.
De plus, on doit composer avec la nature irréductiblement des résultats de mesure en mécanique quantique. Considérons par exemple l'équivalent quantique d'un point matériel, c’est-à-dire une particule sans spin. Les grandeurs physiques observables, ou plus simplement les observables sont en effet les mêmes dans les deux cas : la position, l'impulsion, l'énergie cinétique, l'énergie potentielle, l'énergie totale, ... Supposons que l'on soit capable de préparer notre particule dans un état i bien déterminé. On peut concevoir une expérience permettant de mesurer la position, par exemple en éclairant la particule, qui donnera comme résultat : 'la particule est en r1'. On pourrait alors en conclure que la position d'une particule préparée dans l'état i est r1. Cependant, si l'on réitère l'expérience en plaçant à nouveau la particule dans l'état i, on obtient une autre position r2 ≠ r1 " Sauf cas particulier", il en serait de même avec toute autre grandeur observable.
Au cours du temps, les physiciens ont acquis la conviction que ce fait expérimental n'était pas dû à une incertitude expérimentale lors de la mesure, ou encore à une préparation aléatoire d'une fois sur l'autre (dans un état i'i), mais plutôt que l'état ne détermine pas les résultats de mesure de manière certaine. Ceci est particulièrement illustré lors d'expériences mettant en évidence la complémentarité quantique, où malgré des mesures permettant de préparer un état précis, les résultats des mesures ultérieures restent aléatoires.
En traitant statistiquement les valeurs r1, r2, ... obtenues lors de mesures répétées de la position, comme dans la première figure ci-dessous, il apparaît cependant que certaines sont obtenues plus fréquemment que d'autres. Ainsi, si la valeur obtenue à l'issue de chaque mesure individuelle n'est pas connue, l'état détermine la distribution de probabilité associée à chacune des observables du système, et sa connaissance nous permet de faire des prévisions probabilistes sur les résultats de mesure. Il est alors possible de définir des grandeurs statistiques telles que la valeur moyenne de la position ou encore l'écart type de la position (notées et respectivement dans le cas de la position, et et dans le cas d'une observable O quelconque, étant également appelée incertitude sur la grandeur O lorsque la particule est dans l'état i).
Un cas particulier intéressant correspond à des états pour lesquels l'incertitude ΔO est nulle pour une des observables O. On retrouve alors la prévision de la mécanique classique : dans un de ces états, la mesure de O donnera toujours le même résultat. Pour distinguer ces états là des autres états, ils sont appelés états propres de l'observable O. Les états propres de l'énergie totale présentent l'intérêt de ne pas évoluer au cours du temps : si une particule est dans un état d'énergie donnée, elle restera dans cet état par la suite.
Enfin, un dernier cas particulier permet de préciser ce qui est sous-entendu lorsque l'on dit qu'une particule est dans deux états simultanément. On peut imaginer un état où la distribution de probabilité de la grandeur O est piquée sur deux valeurs. En fait, la particule n'est en réalité que dans un seul état, mais cet état quantique donnera deux résultats possibles lors d'une mesure de O.
Représentation mathématique d'un état État pur En mécanique quantique, on représente l'état d'un système par un vecteur dans un espace vectoriel hilbertien, c'est-à-dire dans lequel est défini un produit scalaire hermitien entre deux vecteurs φ et ψ. En raison de l'importance de ces produits scalaires, on utilise la notation bra-ket introduite par Dirac pour représenter les états quantiques de manière concise et simple. Le vecteur ψ est ainsi noté et appelé ket, tandis que son vecteur dual est appelé bra et noté .
L'espace des états dépend du système considéré. Par exemple, dans le cas le plus simple où le système n'a pas de spin ou de structure interne, les états quantiques sont des fonctions telles que l'intégrale converge. Dans ce cas, ψ est appelée la fonction d'onde du système.
D'autre part, lorsque l'on associe deux systèmes pour en faire un seul, l'espace des états de ce système composé est le produit tensoriel des espaces des états associés aux deux sous-systèmes. (Dans le cas de deux particules identiques, il y a une restriction additionnelle, liée aux spin.)
On retrouve le déterminisme de la mécanique classique dans l'évolution de l'état quantique. C'est-à-dire que l'on peut calculer de manière déterministe comment l'état d'un système va évoluer au cours du temps (grâce à l'équation de Schrödinger), sauf lorsqu'il y a une mesure de l'état de notre système, auquel cas l'évolution n'est plus déterministe, mais probabiliste.
Il s'agit là d'une différence majeure avec la mécanique classique, qui découle du postulat de réduction du paquet d'onde et qui permet de donner une interprétation probabiliste aux états quantiques.
Représentations de Schrödinger et de Heisenberg
Ces deux représentations sont deux manières équivalentes de décrire l'évolution temporelle du système quantique.
Selon Heisenberg, le vecteur d'état est constant, donc l'observable qui désigne les diverses variables d'un système quantique évolue dans le temps.
Mais Schrödinger par la suite, démontra que l'observable qui désigne les diverses variables d'un système quantique peut dépendre du temps. Sauf que ce facteur n'a pas de rapport direct avec l'évolution temporelle dictée par l'hamiltonien. On en conclut donc selon Schrödinger que les diverses variables d'un système quantique restent constantes au cours du temps.
États mixtes
L'état quantique d'un système peut être représenté par la matrice densité. Il s'ensuit qu'un état mixte est un mélange statistique d'états purs. Tout état mixte, peut se mettre sous la forme suivante : , où les sont les probabilités du mélange statistique, et les sont les différents états purs du système.
Fonction de Wigner
Interprétation probabiliste des états quantiques