Dans une approche axiomatique de la géométrie projective, un plan projectif est une structure comprenant un ensemble de points, un ensemble de droites, et une relation, dite d'incidence, entre points et droites (un point est sur une droite) qui vérifie les axiomes d'incidence. S'il satisfait de plus le théorème de Desargues, pris alors comme axiome, il s'agit d'un plan projectif arguésien (ou desarguésien, ou encore plan projectif de Desargues).

Le plan projectif réel « usuel » est arguésien, et plus généralement un plan projectif P2(K) définis sur un corps quelconque K (non nécessairement commutatif) est arguésien. Réciproquement, étant donné un plan projectif arguésien, il est possible de construire un corps K de façon que ce plan soit isomorphe (pour la structure d'incidence) à P2(K). Il s'agit donc d'une approche axiomatique en termes d'incidence, de la notion de plan projectif sur un corps quelconque, et une fois que le corps est caractérisé, il est possible par exemple d'introduire les coordonnées homogènes.

Si le plan vérifie de plus l'axiome de Pappus, c'est un plan projectif de Pappus et cet axiome équivaut à la commutativité du corps sous-jacent.

On retrouve exactement les mêmes correspondances en géométrie affine, un plan projectif arguésien auquel on ôte une droite, dite alors droite à l'infini, et les points qui lui sont incidents, dits alors points à l'infini, a une structure de plan affine arguésien, de même pour le plan projectif de Pappus, et c'est d'ailleurs une façon de retrouver le corps, par les rapports d'homothétie (notion affine).

À partir de la dimension 3, la propriété de Desargues (dans le plan) se démontre par les seuls axiomes d'incidence, et les espaces projectifs axiomatisés en termes d'incidence sont tous des espaces projectifs sur un corps. Tout plan affine arguésien se plonge dans un espace projectif de dimension 3 (ou supérieure) et réciproquement un tel plan est nécessairement arguésien. thumb|360px|Axiome de Desargues : les deux triangles (non plats) ABC et A'B'C' ont leurs sommets sur 3 droites distinctes p = (AA'), q = (BB') et r = (CC') ; si ces 3 droites sont concourantes (en S) alors les points P = (BC) ∩ (B'C'), Q = (AC) ∩ (A'C') et R = (AB) ∩ (A'B') sont alignés (sur la droite s). Plan projectif arguésien Axiomes Un plan projectif arguésien vérifie, en plus des axiomes d'incidence du plan projectif, l’axiome de Desargues, soit au total : Pour deux points distincts il existe une et une seule droite qui leur est incidente. Deux droites distinctes ont un et un seul point commun. Chaque droite passe par au moins 3 points. Il existe trois points non alignés. Axiome de Desargues : Étant donnés deux triangles ABC et A'B'C', si les 3 droites p = (AA'), q = (BB') et r = (CC') sont concourantes alors les 3 points d'intersection P = (BC) ∩ (B'C'), Q = (AC) ∩ (A'C') et R = (AB) ∩ (A'B') sont alignés. L'énoncé dual de l'axiome de Desargues dit qu'étant donné deux triangles de côtés a, b, c et a', b', c', de sommets respectivement A = b ∩ c, B = a ∩ c, C = a ∩ b et A' = b' ∩ c', B' = a' ∩ c', C' = a' ∩ b', si les 3 points P = a ∩ a', Q = b ∩ b' et R = c ∩ c' sont alignés alors les 3 droites p = (AA'), q = (BB') et r = (CC') sont concourantes : c'est la réciproque de l'axiome de Desargues. Celle-ci de déduit de l'axiome. En effet supposons P, Q et R alignés, les deux triangles AA'Q et BB'P ont leurs sommets sur 3 droites (AB), (A'B') et (QP) concourantes en R. Par l'axiome de Desargues les 3 points C = (AQ) ∩ (BP), C' = (A'Q) ∩ (B'P) et (AA') ∩ (BB') sont alignés ce qui signifie bien que les 3 droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes.

L'énoncé dual de l'axiome de Desargues étant démontrable, le principe de dualité, déjà valide pour les 4 premiers axiomes (voir plan projectif (structure d'incidence)#Dualité) est encore valide pour les plans projectifs arguésiens. Dit d'une autre façon, le plan dual d'un plan projectif arguésien est un plan projectif arguésien.

Plan projectif et plan affine Un plan projectif privé d'une de ses droites, appelée alors droite à l'infini, et des points incidents à celle-ci, appelés alors points à l'infini, est un plan affine ; les droites sécantes en un point à l'infini sont parallèles (voir plan projectif (structure d'incidence)#Plan projectif et plan affine). Si le plan projectif est arguésien, quel que soit le choix de la droite le plan affine obtenu est un plan affine arguésien, l'axiome de Desargues affine correspond au cas particulier de l'axiome projectif où 2 des 3 points d'intersection sont à l'infini (la conclusion étant que le troisième l'est).

Réciproquement un plan affine arguésien peut être complété en un plan projectif, en ajoutant un point pour chaque direction de droite et une droite auxquels tous ces points et seulement ceux-ci sont incidents. Mais comme un plan affine arguésien est un plan défini sur un corps (voir paragraphe suivant), le plan projectif obtenu est le complété projectif de ce plan affine, et c'est donc un plan projectif défini sur un corps, donc arguésien (voir paragraphe suivant).

Corps sous-jacent L'axiome de Desargues projectif est vérifié par les plans définis sur un corps (non nécessairement commutatif), c'est le théorème de Desargues.

Un plan affine arguésien étant un plan affine défini sur un corps, un plan projectif arguésien est un plan projectif défini sur un corps. La définition axiomatique des plans projectifs arguésiens s'avère donc équivalente à la définition des plans projectifs comme quotient par la relation d'alignement sur un espace vectoriel sur le corps K de dimension 3.

On peut montrer ce résultat en géométrie affine en utilisant les transformations du plan qui à une droite associent une droite parallèle. Parmi ces transformations affines, celles qui n'ont pas de point fixe sont les translations, et ceci utilise le petit axiome de Desargues affine, qui correspond, en géométrie projective, au cas particulier de l'axiome de Desargues où le point S du dessin ci-dessus est sur la droite passant par deux des points d'intersection, par exemple P et Q (prise comme droite à l'infini), la conclusion étant alors que le troisième R est sur cette droite. Les transformations qui à une droite associent une droite parallèle et qui possèdent un point fixe sont les homothéties, et ceci utilise l'axiome de Desargues, correspondant en projectif au cas où le point S n'est pas sur une droite passant par 2 des 3 points P, Q et R. Les translations fournissent l'espace vectoriel sous-jacent, sur lequel on définit, par les homothéties affines, les homothéties vectorielles qui fournissent le corps K sous-jacent.

Pour obtenir un plan projectif sur un corps, on peut donc restreindre l'axiome de Desargues au cas où deux des points d'intersection, par exemple P et Q, sont sur une droite donnée. On peut même supposer que S n'est pas aligné avec P et Q, le petit axiome de Desargues affine étant conséquence du cas correspondant aux homothétiesJacqueline Lelong-Ferrand, . Le plan projectif obtenu est arguésien.

Par contre le petit axiome de Desargues projectif (cas particulier où par hypothèse le point S est aligné avec deux des 3 points d'intersection, par exemple P et Q) n'est pas suffisant pour que le plan soit arguésien.

Il est également possible de mettre en évidence le corps sous-jacent directement en géométrie projective, sans détour par la géométrie affine, en utilisant une méthode inspirée de l'« algèbre des jets » de Karl Georg Christian von Staudt, mais clarifiée et simplifiée depuis chapitre 6 pour les détails ; la référence à von Staudt est donnée (éd. 1918)..

thumb|320px|Axiome de Pappus : si les points A1, B1 et C1 sont alignés, de même que les points A2, B2 et C2, le tout sur deux droites distinctes, alors les points A0 =(B1C2) ∩ (C1B2), B0 =(A1C2) ∩ (C1A2), et C0 = (A1B2) ∩ (B1C2) sont aussi alignés.

Son énoncé dual : si les droites a1, b1 et c1 sont concourantes, de même que les droites a2, b2 et c2, le tout en deux points distincts, alors les droites a0 passant par b1 ∩ c2 et c1 ∩ b2, b0 passant par a1 ∩ c2 et c1 ∩ a2, et c0 passant par a1 ∩ b2 et b1 ∩ c2 sont aussi concourantes.

Plan projectif de Pappus

Un plan projectif de Pappus est un plan projectif arguésien qui vérifie de plus l’axiome de Pappus : Axiome de Pappus-projectif : si les points A1, B1 et C1 sont alignés sur a1, et les points A2, B2 et C2 sur a2, ces deux droites a1 et a2 étant distinctes, alors les points (B1C2) ∩ (C1B2), (A1C2) ∩ (C1A2), et (A1B2) ∩ (B1C2) sont aussi alignés.

La configuration de Pappus, constituée de 9 points chacun sur 3 droites, et de 9 droites chacune passant par 3 points, est autoduale, et l'énoncé dual de l'axiome de Pappus (énoncé ci-contre) est conséquence de ce dernier modulo les axiomes d'incidencePar exemple .

En effet, soient a1, b1 et c1 3 droites concourantes; de même que les droites a2, b2 et c2. On peut donc définir 3 points A1= a1 ∩ b1 ∩ c1, B1 = a1 ∩ c2 et C1 = a1 ∩ b2 alignés sur a1, ainsi que 3 points A2 = a2 ∩ b2 ∩ c2, B2 = a2 ∩ c1 et C2 = a2 ∩ b1 alignés sur a2. On pose ensuite C0 = b1 ∩ c2, B0 = b2 ∩ c1, a0 = (B0C0), b0 = (B1C2), c0 = (C1B2), A0 = b0 ∩ c0. L'axiome de Pappus entraîne alors que les points A0, B0, et C0 sont alignés, d'où la conclusion cherchée à savoir que les droites a0, b0, et c0 sont concourantes.

Le principe de dualité s'étend donc aux plans projectifs de Pappus.

L'énoncé dual de l'axiome de Pappus est en fait équivalent à celui-ci modulo les axiomes d'incidence. La réciproque suit en effet par dualité (pour les seuls axiomes d'incidence).

Dans un plan projectif arguésien, donc qui peut se construire sur un corps, l'axiome de Pappus équivaut à la commutativité du corps en question. Il existe des corps non commutatifs, donc des plans projectifs arguésiens qui ne sont pas des plans de Pappus.

L'équivalence peut se démontrer en passant par la géométrie affine, l'axiome de Pappus affine est obtenu en faisant passer la droite à l'infini par deux des points d'intersection, la conclusion étant que le troisième l'est également. Dans le cas où les droites passant par A1, B1 et C1 d'une part, A2, B2 et C2 d'autre part, sont sécantes en un point O, l'axiome de Pappus affine exprime la commutativité du produit de deux homothéties de centre 0, et donc celle du corps chap. ?.

Il est également possible de démontrer directement le résultat en géométrie projective, en utilisant les coordonnées homogènes dans un corps (a priori quelconque), puisqu'on suppose le plan arguésien, et en choisissant un repère projectif parmi les 9 points de la configuration de Pappusvoir page 432, ou ..

Il s'avère qu'en fait, comme l'a remarqué Gerhard Hessenberg, la propriété de Desargues se déduit de celle de Pappus, et donc un plan projectif de Pappus est axiomatisé par les axiomes d'incidence de plan projectif plus l'axiome de Pappus (l'axiome de Desargues est redondant).

Une autre axiomatisation des plans projectifs de Pappus (donc sur un corps commutatif) est possible, qui utilise les homographies, c'est-à-dire les transformations projectives, entre droites du plan : un axiome supplémentaire assure l'unicité d'une homographie d'une droite sur elle-même ayant 3 points fixes (édition 1918) ou .. Elle permet de développer une approche axiomatique directe de la géométrie projective (sans utiliser l'algèbre linéaire ou les coordonnées homogènes) jusqu'à une définition et l'étude des coniques, chapitre VI page 148 de l'édition 1918, chapitre V pour l'étude des coniques, ainsi que .

Transformations projectives entre droites du plan