Le théorème d'Iwaniec-Richert peut s'énoncer ainsi :
Il existe une infinité d'entiers n tel que n + 1 soit premier ou semi-premier.
Ce résultat a été obtenu par Iwaniec en 1978. Il fait suite à un article de B. V. Levin de 1960, dans lequel ce dernier montre qu'il existe tel que la suite contienne au moins
éléments ayant au plus cinq facteurs premiers.
En 1974, Halberstam et Richert, dans leur ouvrage , avaient obtenu le résultat effectif suivant. Soit un entier qui n'est pas l'opposé d'un carré parfait, et soient des nombres réels. Alors, le nombre d'entiers vérifiant et tels que soit premier est majoré par :
où désigne le symbole de Legendre-Jacobi-Kronecker.
Référence
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Iwaniec-Richert