Binomikerroin on kombinaatioiden laskemiseen käytetty kaksiparametrinen funktio. Jos ja , niin binomikerroin on .
Tämä luku osoittaa, kuinka monella eri tavalla alkiota käsittävästä joukosta voidaan poimia sellainen osajoukko, jossa on alkiota.
Esimerkiksi neljästä henkilöstä (A, B, C ja D) voidaan valita kaksi henkilöä kuudella tavalla: AB, AC, AD, BC, BD ja CD. Näiden sisäisellä järjestyksellä (permutaatio) ei ole väliä.
Täten: .
Useissa laskimissa sama toiminto on nimeltään nCr (esim. nCr(4,2) ).
Ominaisuuksia
Binomikertoimille pätevät seuraavat yleiset säännöt:
Pascalin sääntö:
Pascalin sääntö osoittaa, että binomikertoimen arvot voidaan lukea Pascalin kolmiosta niin, että n vastaa kolmion rivinumeroa, ja k binomikertoimen järjestysnumeroa rivin reunasta laskien.
Binomin potenssit
Nimitys binomikerroin johtuu siitä, että samat luvut esiintyvät myös kertoimina, kun binomi korotetaan kokonaislukupotenssiin ja saatu lauseke kehitetään polynomiksi, esimerkiksi:
Yleistyksiä
Korvaamalla kertoma gammafunktion avulla, voidaan binomikerroin laajentaa positiivisille reaaliluvuille ja joillekin negatiivisille reaaliluvuille määritellyksi. Negatiivinen binomikerroin on kuitenkin .
Yleisesti on voimassa, että jos , niin .Lennart Råde, Bertil Westergren: Mathematics Handbook for Science and Engineering
Binomikertoimien ala- ja ylärajoja
Binomikertoimelle on voimassa seuraavat arviot:
Ohjelmallinen toteutus Jos ja , niin binomikerroin on laskettavissa JavaScriptillä rekursiolla seuraavalla funktiolla:
function binomikerroin(n,k) { if (k == 0 || k == n) { return 1; } else { return binomikerroin(n-1,k-1) + binomikerroin(n-1,k);
Lähteet
Aiheesta muualla
Binomial Coefficient
Luokka:Kombinatoriikka