Aritmeettinen sarja on ääretön summalauseke, jonka jokaisen kahden peräkkäisen termin erotus on vakio. Aritmeettisen sarjan termit siis muodostavat aritmeettisen jonon. Esimerkki aritmeettisesta sarjasta on , jossa termien välinen vakioerotus on 1. Toinen esimerkki on , jossa vakioerotus on −0,5).
Aritmeettisen sarjan summa
Sarja on ainoa suppeneva aritmeettinen sarja. Sarjan summa on 0. Kaikilla muilla aritmeettisilla sarjoilla on epäoleellinen raja-arvo , eli sarjat hajaantuvat.
Lausekkeita aritmeettiselle sarjalle n:s termi: , missä d = peräkkäisten termien erotus
Ensimmäisten n termin summa:
Todistus 1: Geometrisesti Sn on kolmiomaisen alueen ala, joka koostuu pylväistä, joiden korkeus on an ja leveys 1. Tämä johtaa triviaalisti kaavaan . Todistus 2: Kirjoitetaan Sn kahdella eri tavalla käyttäen kaavaa (1):
Lasketaan yhteen (2) + (3), jolloin kaikki d:t kumoutuvat pois:
.
□
Aritmeettisen sarjan summalle kaikilla :n arvoilla pätee:
Katso myös
Geometrinen sarja
Lähteet Viitteet
Kirjallisuutta (pdf)
Aiheesta muualla Alkulukujen esiintyminen aritmeettisina jonoina
Luokka:Algebra Luokka:Matemaattiset sarjat