Piste on kategoriateorian peruskäsite, joka vastaa kategorian olioita eli yksittäisiä ”kohteita”, joiden välillä kulkevat nuolet kuvaavat yhteyksiä. Kategorian pisteet ja nuolet yhdessä muodostavat kategorian rakenteen.
Kategoriateoriassa pisteitä ei lähtökohtaisesti tarkastella niiden sisäisen rakenteen kautta, vaan suhteessa toisiin pisteisiin nuolien avulla. Näin pisteet ovat abstrakteja olioita, joiden merkitys määräytyy niiden välisten suhteiden kautta.
Pisteistä voidaan käyttää myös nimityksiä objekti tai kappale.
Kansantajuinen selitys Pisteet ovat kategoriateorian ”solmuja”, joista nuolet alkavat ja joihin ne päättyvät. Ne eivät itsessään sisällä tietoa rakenteesta, vaan se on seuraus niiden asemasta suhteessa muihin pisteisiin.
Kategorian piste voi edustaa esimerkiksi joukkoa, ryhmää, topologista avaruutta tai mitä tahansa muuta matemaattista rakennetta, johon liittyy rakenteen säilyttäviä kuvauksia.
Määritelmä
Kategoria koostuu luokasta pisteitä ja luokasta pisteiden välisiä nuolia , jotka täyttävät seuraavat ehdot:
Jokaisella nuolella on alkupiste ja loppupiste . Nuolet ja voidaan liittää toisiinsa, kun ensimmäisen nuolen loppupiste on sama kuin toisen nuolen alkupiste. Liitoksen tulosta merkitään . Jokaiselle pisteelle on olemassa identiteettinuoli , jolle pätee ja kaikilla sen kanssa yhteensopivilla nuolilla ja . Nuolten liitos on liitännäinen: .
Näin piste toimii nuolten ”ankkurina” tai ”solmuna”: ilman pisteitä ei ole alkua eikä loppua nuolille, eikä siten myöskään kategoriaa.
Esimerkkejä Eri kategorioissa pisteet saavat erilaisia tulkintoja:
Kategoria Pisteet Nuolet Joukko Joukkojen kategoria Joukko Kuvaus Top Topologisten avaruuksien kategoria Topologinen avaruus Jatkuva kuvaus Ryhmä Ryhmien kategoria Ryhmä Ryhmähomomorfismi Mon Monoidien kategoria Monoidi Monoidihomomorfismi Esijärjestys Esijärjestysten kategoria Alkio Esijärjestys -Vekt Vektoriavaruudet kerroinkunnalla Vektoriavaruus Lineaarikuvaus Verkko Suunnattujen verkkojen kategoria Verkko Verkkohomomorfismi
Erityisiä pisteitä Joillakin kategorioilla on olemassa pisteitä, joilla on erityisiä ominaisuuksia. Kategorian piste on aluspiste, jos jokaiselle pisteelle on olemassa yksikäsitteinen nuoli . Esimerkiksi joukkojen kategorian aluspiste on tyhjä joukko. Kategorian piste on päätepiste, jos jokaiselle pisteelle on olemassa yksikäsitteinen nuoli . Esimerkiksi joukkojen kategorian aluspiste on yhden alkion joukko.
Merkitys kategoriateoriassa
Pisteet ovat kategorian perusrakenne: ne määrittävät, mistä nuolet voivat alkaa ja mihin ne voivat päättyä. Ilman pisteitä ei ole mahdollista määritellä nuolia eikä niiden liitoksia.
Kategoriateorian monissa käsitteissä — kuten ylinuolet, luonnolliset muunnokset, rajat ja Yonedan apulause — pisteillä on keskeinen rooli. Niitä voidaan pitää kategoriateorian olioina, kun taas nuolet kuvaavat näiden olioiden välisiä suhteita.
Katso myös Kategoria Nuoli (kategoriateoria)
Lähteet
Viitteet
Luokka:Kategoriateoria