Johann Carl Friedrich Gauss FRS (, , ; 30. huhtikuuta 1777 Braunschweig – 23. helmikuuta 1855 Göttingen) oli saksalainen matemaatikko, tähtitieteilijä ja fyysikko. Hänen työnsä koskivat muun muassa tilastotiedettä, lukuteoriaa, analyysiä, differentiaaligeometriaa, maanmittausta, sähköstatiikkaa, tähtitiedettä ja optiikkaa. Gauss oli aikansa merkittävin matemaatikko ja on saanut lisänimen princeps mathematicorum (latinaa, ). Hän esitti muun muassa pienimmän neliösumman menetelmän, jolla pystytään sovittamaan jatkuvia käyriä havaintoaineistoon ja todisti algebran peruslauseen ja aritmetiikan peruslauseen, jonka mukaan jokainen luonnollinen luku voidaan esittää yksikäsitteisesti alkulukujen tulona. Gauss osoitti myös, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana. Hän julkaisi tuloksiaan niukasti. Eräs julkaisematta jäänyt tutkimus koski epäeuklidista geometriaa – hän oli tutkinut tätä geometrian aluetta jo ennen Bolyaita ja Lobatševskiä.
Matematiikan lisäksi Gauss tunnetaan optiikan sekä sähkö- ja magnetismiopin saavutuksista. Niitä ovat esimerkiksi Gaussin kuvauslaki ja Gaussin laki magneettikentille. Gauss on eponyymi SI-järjestelmän ulkopuoliselle magneettivuon tiheyden yksikölle, gaussille (Gs). Hänen mukaansa on nimetty joka neljäs vuosi myönnettävä Carl Friedrich Gaussin palkinto.
Elämäkerta Lapsuus 200px|thumb|left|Gaussin syntymätalo Braunschweigin Wilhelmstrasse 30:ssä vuoden 1914 asussa (aiemmin Wendengraben). Talo tuhoutui täysin pommituksissa 15. lokakuuta vuonna 1944. Carl Friedrich Gauss syntyi Braunschweigissa 30. huhtikuuta 1777. Gaussin vanhemmat olivat vähävaraisia työläisiä. Gaussin isä Gebhard Dietrich Gauss teki elämänsä aikana puutarhurin, muurarin, teurastajan ja vakuutusyhtiön varainhoitajan apulaisen töitä. Äiti Dorothea Bentze ei ollut käynyt koulua. Kirjoittaminen ja lukeminen tuottivat hänelle vaikeuksia, mutta hänen kerrotaan silti olleen varsin älykäs. Isää on kuvattu rehelliseksi ja oikeamieliseksi, mutta kasvattajana hyvin ankaraksi. Hän lannisti nuoren poikansa ja määräsi hänet ryhtymään kauppiaaksi. Isä ei myöskään pitänyt siitä, että Carl Friedrich käytti aikaansa harrastuksiin eikä auttanut töissä. Gaussin äiti ja eno kuitenkin huomasivat pojan lahjat ja ymmärsivät, että pojan on päästävä kehittämään niitä. Perheeseen kuului myös Gebhardin edellisestä suhteesta syntynyt poika, Johann George Heinrich Gauss.
Gaussin lapsuudesta on olemassa paljon anekdootteja, joita hän kertoi itsekin mielellään, mutta niiden totuudenmukaisuudesta ei ole varmuutta. Kerran hän putosi veteen, kun hän oli leikkimässä kotitalon läheisyydessä sijaitsevalla kanavalla, mutta hänet pelastettiin täpärästi. Gauss oppi jo varhain lukemaan kuuntelemalla, kun muut perheenjäsenet lukivat saamiaan kirjeitä ääneen. Hänen sanotaan olleen hyvä päässälaskija jo ennen kouluikää. Tästä kertoo esimerkiksi seuraava tarina: Gebhard Gauss vei 3-vuotiaan poikansa kesäisenä päivänä työpaikalleen muurausyritykseen. Kesken palkanlaskijan töiden poika huusi kovaan ääneen isälleen: ”Isä, nämä laskelmat ovat väärin!” Hämmentyneet läsnäolijat huomasivat pian virheen. Myöhempinä vuosina Gauss naureskeli asialle sanoen, että oppi laskemaan ennen kuin lukemaan.Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 12 Piti tarina paikkansa tai ei, Gaussia voidaan matemaattisten taitojensa perusteella pitää lapsinerona.
Seitsemänvuotiaana Gauss aloitti koulunkäynnin kahdensadan oppilaan St. Katharinen-Volksschulessa (Pyhän Katariinan kansakoulu). Koulun rehtorina oli J. G. Büttner. Kerran 10-vuotias Gauss pääsi opiskelemaan aritmetiikkaa noin 15-vuotiaiden oppilaiden kanssa. Büttner antoi luokalle vaikean tuntuisen tehtävän: heidän piti kirjoittaa paperille luvut yhdestä sataan, laskea ne yhteen ja tuoda paperi opettajalle tarkastettavaksi. Büttner oletti oppilaiden käyttävän jonkin aikaa tehtävän tekemiseen, mutta hänen yllätyksekseen Gauss palautti paperinsa saman tien ja sanoi braunschweigin murteellaan Ligget se (). Gaussin paperissa oli vain yksi luku, 5050, mikä on oikea tulos. Opettaja käski Gaussin selittää, kuinka hän oli keksinyt vastauksen niin nopeasti. Gauss sanoi: ”1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, ja niin edelleen. Koska tällaisia pareja on sadassa 50 kappaletta, niin lopputulos on 50×101=5050.” Laskupäänsä ansiosta Gauss vältti raipaniskut, joita monet muut oppilaat saivat opettajalta väärien vastausten vuoksi. Büttner oli tuloksesta niin vakuuttunut, että osti Gaussille paremman aritmetiikan oppikirjan omatoimista opiskelua varten.Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 13
Büttner alkoi suunnitella lahjakkaan oppilaansa koulutusta ja kutsui Gaussin isän keskustelemaan asiasta henkilökohtaisesti. Isä suhtautui yllättävän suopeasti Büttnerin ehdotukseen, että pojalle annettaisiin päivittäisen rukilla kehräämisen sijasta lupa lukea matematiikkaa. Keskustelun jälkeen isän sanotaan vieneen rukin takapihalle ja pilkkoneen sen polttopuiksi. Isä oli kuitenkin vihoissaan, kun pojasta ei tulisikaan työläistä.Of Men and Numbers: The Story of the Great Mathematicians, s. 159 Gaussin äidin sukulaiset olivat kauhuissaan, sillä vanhan uskomuksen mukaisesti Jumalan suosikit kuolisivat nuorina. Hyvä laskupää merkitsisi siis lyhyttä elämää.
Gauss sai ohjausta Johann Christian Martin Bartelsilta. Hän eteni opinnoissaan niin nopeasti, että hallitsi jo yksitoistavuotiaana binomikaavan ja opiskeli päättymättömiä sarjoja. Kotonaan hän jatkoi opiskelemista, mutta illalla hänen piti mennä nukkumaan ajoissa, sillä perheellä ei ollut varaa polttaa kynttilöitä turhan takia.
Opiskeluvuodet Ennen yliopistoa Guy Waldo Dunningtonin kirjoittaman Carl Friedrich Gauss: Titan of Science -elämäkertateoksen mukaan Gauss opiskeli eräänä päivänä matematiikkaa Braunschweigin herttuan palatsin nurmikolla. Herttuatar huomasi kirjaan syventyneen 14-vuotiaan pojan, mutta epäili aluksi hieman hänen matemaattisia taitojaan. Keskusteltuaan Gaussin kanssa herttuatar kuitenkin vakuuttui siitä, ettei tämä lukenut ainoastaan ajankuluksi vaan todella ymmärsi matematiikkaa, ja otti pojan kyvyt puheeksi herttuan kanssa. Tilanne kuvataan hieman eri tavalla Jane Muirin teoksessa Of Men and Numbers: The Story of the Great Mathematicians, jonka mukaan huhut Gaussin taidoista levisivät herttuan hoviin. Joka tapauksessa Braunschweigin herttua kiinnostui Carl Gaussista ja lähetti palvelijan hakemaan poikaa luokseen. Palvelija pyysi ensin Carlin velipuolta Georgea herttuan luokse, mutta George arvasi sen olevan väärinkäsitys ja pyysi palvelijaa ottamaan Carlin mukaansa. Georgella oli tapana vitsailla myöhemmin, että hän saattaisi olla nyt professori, jos olisi vain halunnut mennä herttuan luokse.Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 15
Braunschweigin herttuan avustamana Gauss kirjoittautui 14-vuotiaana 18. helmikuuta 1792 Collegium Carolinumiin (nyk. Braunschweigin teknillinen yliopisto), joka oli yliopistoon valmistava koulu. Kouluun hän kirjoittautui vielä nimellä Johann Friedrich Carl Gauss, mutta käytti sen jälkeen aina nimeä Carl Friedrich Gauss.Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 18 Herttua tuki häntä taloudellisesti, jotta hän saisi kaikki vaadittavat matemaattiset välineet käyttöönsä.Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 16 Matematiikantaitojaan hän harjoitteli lukemalla Newtonin, Eulerin ja Lagrangen kirjoituksia. Collegium Carolinumissa Gauss viihtyi neljä vuotta. Elokuussa 1795 hän sai herttualta stipendin, jonka turvin hän saattoi mennä Göttingenin yliopistoon. Gauss lähti synnyinkaupungistaan 11. lokakuuta.Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 21
Göttingenissä Göttingenissä Gauss sai matematiikan opettajakseen Abraham Kästnerin, jota hän tapasi pitää pilkkanaan. Gauss osasi sujuvasti klassisia kieliä, etenkin latinaa, ja hän pohti vielä Göttingenissäkin, ryhtyisikö matemaatikoksi vai kielitieteilijäksi. Päiväkirjansa perusteella hän teki päätöksen 30. maaliskuuta 1796:Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 28 hänestä tulisi matemaatikko. Tuona päivänä hän nimittäin ratkaisi kuuluisan, siihen asti avoimen ongelman: mitkä säännölliset monikulmiot voidaan konstruoida harpilla ja viivoittimella? Hän osoitti, että täsmälleen ne monikulmiot, joiden kulmien lukumäärän parittomat alkutekijät ovat Fermat’n lukuja. Gauss siis havaitsi, että 17-kulmio voidaan konstruoida euklidisin työkaluin. Löytöä on myöhemmin pidetty yhtenä tärkeimmistä Gaussin uralla.
Vuosi 1796 oli muutenkin hedelmällinen, sillä samana vuonna Gauss keksi lukuteorian osa-alueen modulaariaritmetiikan, joka tekee lukuteorian tutkimisen huomattavasti helpommaksi. 8. huhtikuuta hän keksi kuuluisan neliönjäännöslauseensa. Tuloksen ansiosta matemaatikot saattoivat kokeilla minkä tahansa modulaariaritmetiikan toisen asteen yhtälön ratkaisujen olemassaoloa. Toukokuun viimeisenä päivänä Gauss otaksui sittemmin todeksi osoittautuneen alkulukulauseen, jonka avulla voidaan tutkia, miten alkuluvut ovat jakautuneet kokonaislukujen joukossa. Gauss todisti myös, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana. Tämän tuloksen hän keksi 10. heinäkuuta ja kirjoitti siitä päiväkirjaansa: ”Heureka! num=.” 1. lokakuuta hän julkaisi tuloksen polynomien ratkaisujen lukumäärästä, missä polynomin kertoimet kuuluvat annettuun äärelliseen kuntaan. (150 vuotta myöhemmin tämän tuloksen perusteella keksittiin niin sanotut Weilin otaksumat, jotka todistettiin vuonna 1974.)
Gaussilla oli opiskeluvuosinaan vähän ystäviä, mutta he olivat sitäkin läheisempiä. Parhaimpien ystävien joukossa oli Farkas Bolyai, josta tuli myös matemaatikko. Gaussin mielestä Bolyai oli ainoa, joka kykeni ymmärtämään hänen matemaattisia ajatuksiaan.Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 27 Syyskuussa 1798 Gauss jätti opiskelunsa kesken ja palasi Braunschweigiin. Opiskelut olivat hankalassa vaiheessa, sillä herttua saattaisi lopettaa Gaussin tukemisen, eikä hän ollut vielä suorittanut tutkintoa. Onneksi herttua jatkoi tukeaan sillä ehdolla, että Gauss väittelisi Helmstedtin yliopistossa. Gauss suostui, sillä hän tunsi jo entuudestaan väitöstyönsä ohjaajan Johann Pfaffin. Rahoituksen varmistuttua Gaussin asema oli hyvä, sillä hänen ei tarvinnut etsiä töitä ja hän saattoi omistautua matematiikalle. Vuonna 1799 valmistuneessa väitöskirjassaan Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse Gauss todisti algebran peruslauseen ja kritisoi monia sen ajan huippumatemaatikkoja perusteellisuuden puutteesta. Nykymatemaatikot arvostavat Gaussin väitöstä paljon.Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 41
Algebran peruslause on tärkeä ja kuuluisa lause, jonka mukaan jokaisella kompleksikertoimisella polynomilla on ainakin yksi nollakohta. Todistus oli yksi ensimmäisistä puhtaista eksistenssitodistuksista, mutta silti vajavainen, koska se perustui oikeaksi todistamattomaan Jordanin käyrälauseeseen. Moni matemaatikko oli yrittänyt todistaa peruslauseen, muun muassa Jean le Rond d’Alembert, mutta tuloksetta. Algebran peruslauseelle Gauss esitti myöhemmin vielä kolme eri todistusta, joista viimeinen, vuodelta 1849, on yhtä täsmällinen kuin nykyajan matemaattiset julkaisut. Matemaattiselta kannalta se on todistuksista samalla yleisin, sillä se osoittaa, että algebran peruslause pitää paikkansa myös, kun polynomin kertoimet ovat kompleksisia. Gaussin todistukset vaikuttivat merkittävästi funktioteorian kehitykseen, ja tuon ajan matemaatikot oppivat paljon kompleksilukujen ominaisuuksista muun muassa algebran peruslauseen todistusten kautta.