Funktioavaruus on tiettyjen joukkojen X ja Y välisten funktioiden muodostama joukko. Funktioavaruutta kutsutaan avaruudeksi, koska se on monissa sovelluksissa joko topologinen avaruus tai vektoriavaruus (tai molempia).
Funktioavaruudet ovat yleisiä monilla matematiikan osa-alueilla, sillä monet lukuavaruuksien ja niiden välisten funktioiden ominaisuudet pätevät jossain muodossa myös funktioavaruuksilla ja funktioita kuvaavilla funktioilla, eli operaattoreilla tai funktionaaleilla.
Erilaisia funktioavaruuksia tutkitaan erityisesti matemaattisen analyysin eri osa-alueilla, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisussa ja topologiassa. Funktioavaruuksia käytetään myös fysiikassa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa hiukkaset voidaan ajatella funktioiksi sopivassa Hilbertin avaruudessa.
Esimerkkejä Topologiassa funktioavaruutta voidaan ajatella joukkojen ja tulojoukkona , sillä millä tahansa funktiolla jokainen "indeksoi" jonkin alkion (jota merkitään yleensä ). Vastaavasti esimerkiksi jokaista vektoria voidaan myös ajatella funktiona .
Lineaarialgebrassa enintään -asteisten polynomien joukko on -ulotteinen funktioiden vektoriavaruus.
Lebesguen avaruudet eli -avaruudet ovat klassinen esimerkki funktioavaruuksista, jotka ovat täydellisiä normiavaruuksia, eli Banach-avaruuksia.
Sileiden funktioiden joukko, eli -kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko ja äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko .
Funktionaalianalyysi Funktionaalianalyysi on matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan erityisesti ääretönulotteisia vektoriavaruuksia, niiden ominaisuuksia ja kuvauksia. Monet tällaiset avaruudet ovat joko lukujono- tai funktioavaruuksia. Esimerkiksi operaattorin ominaisuudet (kuten jatkuvuus) riippuvat funktioavaruuden ominaisuuksista.
Lähteet
Kirjallisuutta
Luokka:Joukko-oppi